Theorem ccatco 12801

Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatco

Proof of Theorem ccatco

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenco 12798	. . . . . . 7
2	1	3adant2 1015	. . . . . 6
3		lenco 12798	. . . . . . 7
4	3	3adant1 1014	. . . . . 6
5	2, 4	oveq12d 6314	. . . . 5
6	5	oveq2d 6312	. . . 4
7	6	mpteq1d 4533	. . 3
8	2	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
9	8	adantr 465	. . . . . . 7
10	9	eleq2d 2527	. . . . . 6
11	10	ifbid 3963	. . . . 5
12		wrdf 12553	. . . . . . . . . . 11
13	12	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
14	13	adantr 465	. . . . . . . . 9
15		ffn 5736	. . . . . . . . 9
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . 8
17		fvco2 5948	. . . . . . . 8
18	16, 17	sylan 471	. . . . . . 7
19		iftrue 3947	. . . . . . . 8
20	19	adantl 466	. . . . . . 7
21	18, 20	eqtr4d 2501	. . . . . 6
22		wrdf 12553	. . . . . . . . . . 11
23	22	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
25		ffn 5736	. . . . . . . . 9
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8
27		lencl 12562	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
29	28	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
30		fzospliti 11857	. . . . . . . . . . . 12
31	30	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11
32	29, 31	sylan 471	. . . . . . . . . 10
33	32	orcanai 913	. . . . . . . . 9
34		lencl 12562	. . . . . . . . . . . 12
35	34	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . 11
36	35	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
38		fzosubel3 11877	. . . . . . . . 9
39	33, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . 8
40		fvco2 5948	. . . . . . . 8
41	26, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7
42	2	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
43	42	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . 7
45		iffalse 3950	. . . . . . . 8
46	45	adantl 466	. . . . . . 7
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
48	21, 47	ifeqda 3974	. . . . 5
49	11, 48	eqtrd 2498	. . . 4
50	49	mpteq2dva 4538	. . 3
51	7, 50	eqtr2d 2499	. 2
52	14	ffvelrnda 6031	. . . 4
53	24, 39	ffvelrnd 6032	. . . 4
54	52, 53	ifclda 3973	. . 3
55		ccatfval 12592	. . . 4
56	55	3adant3 1016	. . 3
57		simp3 998	. . . 4
58	57	feqmptd 5926	. . 3
59		fveq2 5871	. . . 4
60		fvif 5882	. . . 4
61	59, 60	syl6eq 2514	. . 3
62	54, 56, 58, 61	fmptco 6064	. 2
63		ffun 5738	. . . . 5
64	63	3ad2ant3 1019	. . . 4
65		simp1 996	. . . 4
66		cofunexg 6764	. . . 4
67	64, 65, 66	syl2anc 661	. . 3
68		simp2 997	. . . 4
69		cofunexg 6764	. . . 4
70	64, 68, 69	syl2anc 661	. . 3
71		ccatfval 12592	. . 3
72	67, 70, 71	syl2anc 661	. 2
73	51, 62, 72	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  ifcif 3941  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  caddc 9516  cmin 9828  cz 10889  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536

This theorem is referenced by:  cats1co  12821  frmdgsum  16030  frmdup1  16032  efginvrel2  16745  frgpuplem  16790  frgpup1  16793  mrsubccat  28878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544