MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Unicode version

Theorem ccatco 12801
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 12798 . . . . . . 7
213adant2 1015 . . . . . 6
3 lenco 12798 . . . . . . 7
433adant1 1014 . . . . . 6
52, 4oveq12d 6314 . . . . 5
65oveq2d 6312 . . . 4
76mpteq1d 4533 . . 3
82oveq2d 6312 . . . . . . . 8
98adantr 465 . . . . . . 7
109eleq2d 2527 . . . . . 6
1110ifbid 3963 . . . . 5
12 wrdf 12553 . . . . . . . . . . 11
13123ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
1413adantr 465 . . . . . . . . 9
15 ffn 5736 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8
17 fvco2 5948 . . . . . . . 8
1816, 17sylan 471 . . . . . . 7
19 iftrue 3947 . . . . . . . 8
2019adantl 466 . . . . . . 7
2118, 20eqtr4d 2501 . . . . . 6
22 wrdf 12553 . . . . . . . . . . 11
23223ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
25 ffn 5736 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8
27 lencl 12562 . . . . . . . . . . . . 13
2827nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . 12
29283ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
30 fzospliti 11857 . . . . . . . . . . . 12
3130ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
3229, 31sylan 471 . . . . . . . . . 10
3332orcanai 913 . . . . . . . . 9
34 lencl 12562 . . . . . . . . . . . 12
3534nn0zd 10992 . . . . . . . . . . 11
36353ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
38 fzosubel3 11877 . . . . . . . . 9
3933, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . 8
40 fvco2 5948 . . . . . . . 8
4126, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7
422oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
4342fveq2d 5875 . . . . . . . 8
4443ad2antrr 725 . . . . . . 7
45 iffalse 3950 . . . . . . . 8
4645adantl 466 . . . . . . 7
4741, 44, 463eqtr4d 2508 . . . . . 6
4821, 47ifeqda 3974 . . . . 5
4911, 48eqtrd 2498 . . . 4
5049mpteq2dva 4538 . . 3
517, 50eqtr2d 2499 . 2
5214ffvelrnda 6031 . . . 4
5324, 39ffvelrnd 6032 . . . 4
5452, 53ifclda 3973 . . 3
55 ccatfval 12592 . . . 4
56553adant3 1016 . . 3
57 simp3 998 . . . 4
5857feqmptd 5926 . . 3
59 fveq2 5871 . . . 4
60 fvif 5882 . . . 4
6159, 60syl6eq 2514 . . 3
6254, 56, 58, 61fmptco 6064 . 2
63 ffun 5738 . . . . 5
64633ad2ant3 1019 . . . 4
65 simp1 996 . . . 4
66 cofunexg 6764 . . . 4
6764, 65, 66syl2anc 661 . . 3
68 simp2 997 . . . 4
69 cofunexg 6764 . . . 4
7064, 68, 69syl2anc 661 . . 3
71 ccatfval 12592 . . 3
7267, 70, 71syl2anc 661 . 2
7351, 62, 723eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  ifcif 3941  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536
This theorem is referenced by:  cats1co  12821  frmdgsum  16030  frmdup1  16032  efginvrel2  16745  frgpuplem  16790  frgpup1  16793  mrsubccat  28878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544
  Copyright terms: Public domain W3C validator