Theorem ccatrn 12606

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 12599	. . . 4
2		lencl 12562	. . . . . . . . . . . 12
3	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
4		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . 11
5	3, 4	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . 10
6	3	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
7		uzid 11124	. . . . . . . . . . . 12
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11
9		lencl 12562	. . . . . . . . . . . 12
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
11		uzaddcl 11166	. . . . . . . . . . 11
12	8, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
13		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . 10
14	5, 12, 13	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9
15		fzosplit 11858	. . . . . . . . 9
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . 8
17	16	eleq2d 2527	. . . . . . 7
18		elun 3644	. . . . . . 7
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . 6
20		ccatval1 12595	. . . . . . . . . 10
21	20	3expa 1196	. . . . . . . . 9
22		ssun1 3666	. . . . . . . . . 10
23		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
24		wrdf 12553	. . . . . . . . . . . 12
25		ffn 5736	. . . . . . . . . . . 12
26	23, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
27		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . 10
29	22, 28	sseldi 3501	. . . . . . . . 9
30	21, 29	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
31		ccatval2 12596	. . . . . . . . . 10
32	31	3expa 1196	. . . . . . . . 9
33		ssun2 3667	. . . . . . . . . 10
34		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
35		wrdf 12553	. . . . . . . . . . . . 13
36		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . 13
37	34, 35, 36	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
39		elfzouz 11833	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
41		uznn0sub 11141	. . . . . . . . . . . . . 14
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
43	42, 4	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12
44	10	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . 13
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
46		elfzolt2 11837	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
48		elfzoelz 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	49	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
51	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
53	45	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
54	50, 52, 53	ltsubadd2d 10175	. . . . . . . . . . . . 13
55	47, 54	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12
56		elfzo2 11832	. . . . . . . . . . . 12
57	43, 45, 55, 56	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . 11
58		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . 11
59	38, 57, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
60	33, 59	sseldi 3501	. . . . . . . . 9
61	32, 60	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
62	30, 61	jaodan 785	. . . . . . 7
63	62	ex 434	. . . . . 6
64	19, 63	sylbid 215	. . . . 5
65	64	ralrimiv 2869	. . . 4
66		ffnfv 6057	. . . 4
67	1, 65, 66	sylanbrc 664	. . 3
68		frn 5742	. . 3
69	67, 68	syl 16	. 2
70	1	adantr 465	. . . . . . . 8
71		fzoss2 11853	. . . . . . . . . 10
72	12, 71	syl 16	. . . . . . . . 9
73	72	sselda 3503	. . . . . . . 8
74		fnfvelrn 6028	. . . . . . . 8
75	70, 73, 74	syl2anc 661	. . . . . . 7
76	21, 75	eqeltrrd 2546	. . . . . 6
77	76	ralrimiva 2871	. . . . 5
78		ffnfv 6057	. . . . 5
79	26, 77, 78	sylanbrc 664	. . . 4
80		frn 5742	. . . 4
81	79, 80	syl 16	. . 3
82		ccatval3 12597	. . . . . . . 8
83	82	3expa 1196	. . . . . . 7
84	1	adantr 465	. . . . . . . 8
85		elfzouz 11833	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
87	86, 4	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . 11
88	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
89	87, 88	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . 10
90	89, 4	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
91	3, 10	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . . 11
92	91	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
93	92	adantr 465	. . . . . . . . 9
94	87	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . 11
95	88	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . 11
96	94, 95	addcomd 9803	. . . . . . . . . 10
97	87	nn0red 10878	. . . . . . . . . . 11
98	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
99	98	nn0red 10878	. . . . . . . . . . 11
100	88	nn0red 10878	. . . . . . . . . . 11
101		elfzolt2 11837	. . . . . . . . . . . 12
102	101	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
103	97, 99, 100, 102	ltadd2dd 9762	. . . . . . . . . 10
104	96, 103	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . 9
105		elfzo2 11832	. . . . . . . . 9
106	90, 93, 104, 105	syl3anbrc 1180	. . . . . . . 8
107		fnfvelrn 6028	. . . . . . . 8
108	84, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . . 7
109	83, 108	eqeltrrd 2546	. . . . . 6
110	109	ralrimiva 2871	. . . . 5
111		ffnfv 6057	. . . . 5
112	37, 110, 111	sylanbrc 664	. . . 4
113		frn 5742	. . . 4
114	112, 113	syl 16	. . 3
115	81, 114	unssd 3679	. 2
116	69, 115	eqssd 3520	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  C_wss 3475   class class class wbr 4452  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  28882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544