MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cctop Unicode version

Theorem cctop 17121
Description: The countable complement topology on a set . Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ( )

Proof of Theorem cctop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4063 . . . . . . . 8
2 ssrab2 3417 . . . . . . . . 9
3 sspwuni 4207 . . . . . . . . 9
42, 3mpbi 201 . . . . . . . 8
51, 4syl6ss 3349 . . . . . . 7
6 vex 2968 . . . . . . . . 9
76uniex 4746 . . . . . . . 8
87elpw 3832 . . . . . . 7
95, 8sylibr 205 . . . . . 6
10 uni0c 4068 . . . . . . . . . . 11
1110notbii 289 . . . . . . . . . 10
12 rexnal 2723 . . . . . . . . . 10
1311, 12bitr4i 245 . . . . . . . . 9
14 ssel2 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 difeq2 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615breq1d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918elrab 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2014, 19sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221ord 368 . . . . . . . . . . . . . 14
2322con1d 119 . . . . . . . . . . . . 13
2423imp 420 . . . . . . . . . . . 12
25 reldom 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625brrelexi 4958 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 elssuni 4072 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 sscon 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ssdomg 7202 . . . . . . . . . . . . . 14
3327, 31, 32sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
34 domtr 7209 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12
3624, 35mpdan 651 . . . . . . . . . . 11
3736exp31 589 . . . . . . . . . 10
3837rexlimdv 2836 . . . . . . . . 9
3913, 38syl5bi 210 . . . . . . . 8
4039con1d 119 . . . . . . 7
4140orrd 369 . . . . . 6
42 difeq2 3448 . . . . . . . . 9
4342breq1d 4253 . . . . . . . 8
44 eqeq1 2449 . . . . . . . 8
4543, 44orbi12d 692 . . . . . . 7
4645elrab 3101 . . . . . 6
479, 41, 46sylanbrc 647 . . . . 5
4847ax-gen 1556 . . . 4
49 ssinss1 3557 . . . . . . . . 9
506elpw 3832 . . . . . . . . 9
516inex1 4383 . . . . . . . . . 10
5251elpw 3832 . . . . . . . . 9
5349, 50, 523imtr4i 259 . . . . . . . 8
5453ad2antrr 708 . . . . . . 7
55 difindi 3583 . . . . . . . . . . 11
56 unctb 8136 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl5eqbr 4276 . . . . . . . . . 10
5857orcd 383 . . . . . . . . 9
59 ineq1 3524 . . . . . . . . . . 11
60 incom 3522 . . . . . . . . . . . 12
61 in0 3641 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10
6463olcd 384 . . . . . . . . 9
65 ineq2 3525 . . . . . . . . . . 11
66 in0 3641 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10
6867olcd 384 . . . . . . . . 9
6958, 64, 68ccase2 916 . . . . . . . 8
7069ad2ant2l 728 . . . . . . 7
7154, 70jca 520 . . . . . 6
72 difeq2 3448 . . . . . . . . . 10
7372breq1d 4253 . . . . . . . . 9
74 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9
7573, 74orbi12d 692 . . . . . . . 8
7675elrab 3101 . . . . . . 7
7776, 19anbi12i 680 . . . . . 6
78 difeq2 3448 . . . . . . . . 9
7978breq1d 4253 . . . . . . . 8
80 eqeq1 2449 . . . . . . . 8
8179, 80orbi12d 692 . . . . . . 7
8281elrab 3101 . . . . . 6
8371, 77, 823imtr4i 259 . . . . 5
8483rgen2a 2779 . . . 4
8548, 84pm3.2i 443 . . 3
86 pwexg 4422 . . . 4
87 rabexg 4392 . . . 4
88 istopg 17019 . . . 4
8986, 87, 883syl 19 . . 3
9085, 89mpbiri 226 . 2
91 pwidg 3838 . . . . 5
92 omex 7647 . . . . . . . 8
93920dom 7286 . . . . . . 7
9493orci 381 . . . . . 6
9594a1i 11 . . . . 5
96 difeq2 3448 . . . . . . . . 9
97 difid 3722 . . . . . . . . 9
9896, 97syl6eq 2491 . . . . . . . 8
9998breq1d 4253 . . . . . . 7
100 eqeq1 2449 . . . . . . 7
10199, 100orbi12d 692 . . . . . 6
102101elrab 3101 . . . . 5
10391, 95, 102sylanbrc 647 . . . 4
104 elssuni 4072 . . . 4
105103, 104syl 16 . . 3
1064a1i 11 . . 3
107105, 106eqssd 3354 . 2
108 istopon 17041 . 2
10990, 107, 108sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1550  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713  {crab 2716   cvv 2965  \cdif 3306  u.cun 3307  i^icin 3308  C_wss 3309   c0 3616  ~Pcpw 3826  U.cuni 4043   class class class wbr 4243   com 4886  `cfv 5501   cdom 7156   ctop 17009   ctopon 17010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-inf2 7645
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-se 4583  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-2o 6774  df-oadd 6777  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-oi 7528  df-card 7877  df-cda 8099  df-top 17014  df-topon 17017
  Copyright terms: Public domain W3C validator