MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cctop Unicode version

Theorem cctop 17573
Description: The countable complement topology on a set . Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ( )

Proof of Theorem cctop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4122 . . . . . . . 8
2 ssrab2 3461 . . . . . . . . 9
3 sspwuni 4266 . . . . . . . . 9
42, 3mpbi 201 . . . . . . . 8
51, 4syl6ss 3393 . . . . . . 7
6 vex 3009 . . . . . . . . 9
76uniex 6342 . . . . . . . 8
87elpw 3884 . . . . . . 7
95, 8sylibr 205 . . . . . 6
10 uni0c 4127 . . . . . . . . . . 11
1110notbii 289 . . . . . . . . . 10
12 rexnal 2762 . . . . . . . . . 10
1311, 12bitr4i 245 . . . . . . . . 9
14 ssel2 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 difeq2 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615breq1d 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 eqeq1 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918elrab 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2014, 19sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221ord 368 . . . . . . . . . . . . . 14
2322con1d 119 . . . . . . . . . . . . 13
2423imp 420 . . . . . . . . . . . 12
25 reldom 7227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625brrelexi 4883 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 elssuni 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 sscon 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ssdomg 7265 . . . . . . . . . . . . . 14
3327, 31, 32sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
34 domtr 7272 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12
3624, 35mpdan 651 . . . . . . . . . . 11
3736exp31 589 . . . . . . . . . 10
3837rexlimdv 2875 . . . . . . . . 9
3913, 38syl5bi 210 . . . . . . . 8
4039con1d 119 . . . . . . 7
4140orrd 369 . . . . . 6
42 difeq2 3492 . . . . . . . . 9
4342breq1d 4312 . . . . . . . 8
44 eqeq1 2487 . . . . . . . 8
4543, 44orbi12d 692 . . . . . . 7
4645elrab 3143 . . . . . 6
479, 41, 46sylanbrc 647 . . . . 5
4847ax-gen 1562 . . . 4
49 ssinss1 3601 . . . . . . . . 9
506elpw 3884 . . . . . . . . 9
516inex1 4443 . . . . . . . . . 10
5251elpw 3884 . . . . . . . . 9
5349, 50, 523imtr4i 259 . . . . . . . 8
5453ad2antrr 708 . . . . . . 7
55 difindi 3627 . . . . . . . . . . 11
56 unctb 8199 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl5eqbr 4335 . . . . . . . . . 10
5857orcd 383 . . . . . . . . 9
59 ineq1 3568 . . . . . . . . . . 11
60 incom 3566 . . . . . . . . . . . 12
61 in0 3685 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqtri 2501 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl6eq 2529 . . . . . . . . . 10
6463olcd 384 . . . . . . . . 9
65 ineq2 3569 . . . . . . . . . . 11
66 in0 3685 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl6eq 2529 . . . . . . . . . 10
6867olcd 384 . . . . . . . . 9
6958, 64, 68ccase2 916 . . . . . . . 8
7069ad2ant2l 728 . . . . . . 7
7154, 70jca 520 . . . . . 6
72 difeq2 3492 . . . . . . . . . 10
7372breq1d 4312 . . . . . . . . 9
74 eqeq1 2487 . . . . . . . . 9
7573, 74orbi12d 692 . . . . . . . 8
7675elrab 3143 . . . . . . 7
7776, 19anbi12i 680 . . . . . 6
78 difeq2 3492 . . . . . . . . 9
7978breq1d 4312 . . . . . . . 8
80 eqeq1 2487 . . . . . . . 8
8179, 80orbi12d 692 . . . . . . 7
8281elrab 3143 . . . . . 6
8371, 77, 823imtr4i 259 . . . . 5
8483rgen2a 2818 . . . 4
8548, 84pm3.2i 443 . . 3
86 pwexg 4483 . . . 4
87 rabexg 4452 . . . 4
88 istopg 17471 . . . 4
8986, 87, 883syl 19 . . 3
9085, 89mpbiri 226 . 2
91 pwidg 3891 . . . . 5
92 omex 7710 . . . . . . . 8
93920dom 7349 . . . . . . 7
9493orci 381 . . . . . 6
9594a1i 11 . . . . 5
96 difeq2 3492 . . . . . . . . 9
97 difid 3769 . . . . . . . . 9
9896, 97syl6eq 2529 . . . . . . . 8
9998breq1d 4312 . . . . . . 7
100 eqeq1 2487 . . . . . . 7
10199, 100orbi12d 692 . . . . . 6
102101elrab 3143 . . . . 5
10391, 95, 102sylanbrc 647 . . . 4
104 elssuni 4131 . . . 4
105103, 104syl 16 . . 3
1064a1i 11 . . 3
107105, 106eqssd 3398 . 2
108 istopon 17493 . 2
10990, 107, 108sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1556  =wceq 1662  e.wcel 1724  A.wral 2751  E.wrex 2752  {crab 2755   cvv 3006  \cdif 3350  u.cun 3351  i^icin 3352  C_wss 3353   c0 3660  ~Pcpw 3878  U.cuni 4101   class class class wbr 4302  `cfv 5417   com 6441   cdom 7219   ctop 17461   ctopon 17462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-rep 4413  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338  ax-inf2 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-pss 3369  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-tp 3902  df-op 3903  df-uni 4102  df-int 4139  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-tr 4396  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6026  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-om 6442  df-1st 6538  df-2nd 6539  df-recs 6745  df-rdg 6780  df-1o 6836  df-2o 6837  df-oadd 6840  df-er 7017  df-en 7222  df-dom 7223  df-sdom 7224  df-fin 7225  df-oi 7591  df-card 7940  df-cda 8162  df-top 17466  df-topon 17469
  Copyright terms: Public domain W3C validator