MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cctop Unicode version

Theorem cctop 18084
Description: The countable complement topology on a set . Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ( )

Proof of Theorem cctop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4138 . . . . . . . 8
2 ssrab2 3474 . . . . . . . . 9
3 sspwuni 4282 . . . . . . . . 9
42, 3mpbi 201 . . . . . . . 8
51, 4syl6ss 3405 . . . . . . 7
6 vex 3018 . . . . . . . . 9
76uniex 6386 . . . . . . . 8
87elpw 3899 . . . . . . 7
95, 8sylibr 205 . . . . . 6
10 uni0c 4143 . . . . . . . . . . 11
1110notbii 289 . . . . . . . . . 10
12 rexnal 2770 . . . . . . . . . 10
1311, 12bitr4i 245 . . . . . . . . 9
14 ssel2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 difeq2 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615breq1d 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 eqeq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918elrab 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2014, 19sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221ord 368 . . . . . . . . . . . . . 14
2322con1d 119 . . . . . . . . . . . . 13
2423imp 420 . . . . . . . . . . . 12
25 reldom 7279 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625brrelexi 4901 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 elssuni 4147 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 sscon 3527 . . . . . . . . . . . . . . 15
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ssdomg 7317 . . . . . . . . . . . . . 14
3327, 31, 32sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
34 domtr 7324 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12
3624, 35mpdan 651 . . . . . . . . . . 11
3736exp31 589 . . . . . . . . . 10
3837rexlimdv 2883 . . . . . . . . 9
3913, 38syl5bi 210 . . . . . . . 8
4039con1d 119 . . . . . . 7
4140orrd 369 . . . . . 6
42 difeq2 3505 . . . . . . . . 9
4342breq1d 4328 . . . . . . . 8
44 eqeq1 2495 . . . . . . . 8
4543, 44orbi12d 692 . . . . . . 7
4645elrab 3155 . . . . . 6
479, 41, 46sylanbrc 647 . . . . 5
4847ax-gen 1570 . . . 4
49 ssinss1 3614 . . . . . . . . 9
506elpw 3899 . . . . . . . . 9
516inex1 4459 . . . . . . . . . 10
5251elpw 3899 . . . . . . . . 9
5349, 50, 523imtr4i 259 . . . . . . . 8
5453ad2antrr 708 . . . . . . 7
55 difindi 3640 . . . . . . . . . . 11
56 unctb 8256 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl5eqbr 4351 . . . . . . . . . 10
5857orcd 383 . . . . . . . . 9
59 ineq1 3581 . . . . . . . . . . 11
60 incom 3579 . . . . . . . . . . . 12
61 in0 3698 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqtri 2509 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl6eq 2537 . . . . . . . . . 10
6463olcd 384 . . . . . . . . 9
65 ineq2 3582 . . . . . . . . . . 11
66 in0 3698 . . . . . . . . . . 11
6765, 66syl6eq 2537 . . . . . . . . . 10
6867olcd 384 . . . . . . . . 9
6958, 64, 68ccase2 916 . . . . . . . 8
7069ad2ant2l 728 . . . . . . 7
7154, 70jca 520 . . . . . 6
72 difeq2 3505 . . . . . . . . . 10
7372breq1d 4328 . . . . . . . . 9
74 eqeq1 2495 . . . . . . . . 9
7573, 74orbi12d 692 . . . . . . . 8
7675elrab 3155 . . . . . . 7
7776, 19anbi12i 680 . . . . . 6
78 difeq2 3505 . . . . . . . . 9
7978breq1d 4328 . . . . . . . 8
80 eqeq1 2495 . . . . . . . 8
8179, 80orbi12d 692 . . . . . . 7
8281elrab 3155 . . . . . 6
8371, 77, 823imtr4i 259 . . . . 5
8483rgen2a 2826 . . . 4
8548, 84pm3.2i 443 . . 3
86 pwexg 4499 . . . 4
87 rabexg 4468 . . . 4
88 istopg 17982 . . . 4
8986, 87, 883syl 19 . . 3
9085, 89mpbiri 226 . 2
91 pwidg 3906 . . . . 5
92 omex 7765 . . . . . . . 8
93920dom 7402 . . . . . . 7
9493orci 381 . . . . . 6
9594a1i 11 . . . . 5
96 difeq2 3505 . . . . . . . . 9
97 difid 3782 . . . . . . . . 9
9896, 97syl6eq 2537 . . . . . . . 8
9998breq1d 4328 . . . . . . 7
100 eqeq1 2495 . . . . . . 7
10199, 100orbi12d 692 . . . . . 6
102101elrab 3155 . . . . 5
10391, 95, 102sylanbrc 647 . . . 4
104 elssuni 4147 . . . 4
105103, 104syl 16 . . 3
1064a1i 11 . . 3
107105, 106eqssd 3410 . 2
108 istopon 18004 . 2
10990, 107, 108sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1564  =wceq 1670  e.wcel 1732  A.wral 2759  E.wrex 2760  {crab 2763   cvv 3015  \cdif 3362  u.cun 3363  i^icin 3364  C_wss 3365   c0 3673  ~Pcpw 3893  U.cuni 4117   class class class wbr 4318  `cfv 5438   com 6486   cdom 7271   ctop 17972   ctopon 17973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-rep 4429  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382  ax-inf2 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rmo 2767  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-pss 3381  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-tp 3917  df-op 3918  df-uni 4118  df-int 4155  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-tr 4412  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-isom 5447  df-riota 6062  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6487  df-1st 6583  df-2nd 6584  df-recs 6795  df-rdg 6830  df-1o 6886  df-2o 6887  df-oadd 6890  df-er 7067  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276  df-fin 7277  df-oi 7646  df-card 7995  df-cda 8219  df-top 17977  df-topon 17980
  Copyright terms: Public domain W3C validator