MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda1dif Unicode version

Theorem cda1dif 8577
Description: Adding and subtracting one gives back the original set. Similar to pncan 9849 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda1dif

Proof of Theorem cda1dif
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 id 22 . . 3
4 df1o2 7161 . . . . . . . 8
54xpeq1i 5024 . . . . . . 7
6 0ex 4582 . . . . . . . 8
7 1on 7156 . . . . . . . . 9
87elexi 3119 . . . . . . . 8
96, 8xpsn 6073 . . . . . . 7
105, 9eqtri 2486 . . . . . 6
11 ssun2 3667 . . . . . 6
1210, 11eqsstr3i 3534 . . . . 5
13 opex 4716 . . . . . 6
1413snss 4154 . . . . 5
1512, 14mpbir 209 . . . 4
16 relxp 5115 . . . . . . . 8
17 cdafn 8570 . . . . . . . . . 10
18 fndm 5685 . . . . . . . . . 10
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2019releqi 5091 . . . . . . . 8
2116, 20mpbir 209 . . . . . . 7
2221ovrcl 6329 . . . . . 6
2322simpld 459 . . . . 5
24 cdaval 8571 . . . . 5
2523, 7, 24sylancl 662 . . . 4
2615, 25syl5eleqr 2552 . . 3
27 difsnen 7619 . . 3
282, 3, 26, 27syl3anc 1228 . 2
2925difeq1d 3620 . . . 4
30 xp01disj 7165 . . . . . 6
31 disj3 3871 . . . . . 6
3230, 31mpbi 208 . . . . 5
33 difun2 3907 . . . . 5
3410difeq2i 3618 . . . . 5
3532, 33, 343eqtr2i 2492 . . . 4
3629, 35syl6eqr 2516 . . 3
37 xpsneng 7622 . . . 4
3823, 6, 37sylancl 662 . . 3
3936, 38eqbrtrd 4472 . 2
40 entr 7587 . 2
4128, 39, 40syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   ccda 8568
This theorem is referenced by:  canthp1  9053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator