Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaassen Unicode version

Theorem cdaassen 8583
 Description: Associative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaassen

Proof of Theorem cdaassen
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . 6
2 0ex 4582 . . . . . 6
3 xpsneng 7622 . . . . . 6
41, 2, 3sylancl 662 . . . . 5
54ensymd 7586 . . . 4
6 simp2 997 . . . . . . . 8
7 snex 4693 . . . . . . . 8
8 xpexg 6602 . . . . . . . 8
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . 7
10 1on 7156 . . . . . . 7
11 xpsneng 7622 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6
13 xpsneng 7622 . . . . . . 7
146, 2, 13sylancl 662 . . . . . 6
15 entr 7587 . . . . . 6
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5
1716ensymd 7586 . . . 4
18 xp01disj 7165 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
20 cdaenun 8575 . . . 4
215, 17, 19, 20syl3anc 1228 . . 3
22 simp3 998 . . . . . . 7
23 snex 4693 . . . . . . 7
24 xpexg 6602 . . . . . . 7
2522, 23, 24sylancl 662 . . . . . 6
26 xpsneng 7622 . . . . . 6
2725, 10, 26sylancl 662 . . . . 5
28 xpsneng 7622 . . . . . 6
2922, 10, 28sylancl 662 . . . . 5
30 entr 7587 . . . . 5
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . 4
3231ensymd 7586 . . 3
33 indir 3745 . . . . 5
34 xp01disj 7165 . . . . . 6
35 xp01disj 7165 . . . . . . . 8
3635xpeq1i 5024 . . . . . . 7
37 xpindir 5142 . . . . . . 7
38 0xp 5085 . . . . . . 7
3936, 37, 383eqtr3i 2494 . . . . . 6
4034, 39uneq12i 3655 . . . . 5
41 un0 3810 . . . . 5
4233, 40, 413eqtri 2490 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
44 cdaenun 8575 . . 3
4521, 32, 43, 44syl3anc 1228 . 2
46 ovex 6324 . . . . 5
47 cdaval 8571 . . . . 5
4846, 47mpan2 671 . . . 4
49 cdaval 8571 . . . . . . . 8
5049xpeq1d 5027 . . . . . . 7
51 xpundir 5058 . . . . . . 7
5250, 51syl6eq 2514 . . . . . 6
5352uneq2d 3657 . . . . 5
54 unass 3660 . . . . 5
5553, 54syl6eqr 2516 . . . 4
5648, 55sylan9eq 2518 . . 3
57563impb 1192 . 2
5845, 57breqtrrd 4478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   ccda 8568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-cda 8569
 Copyright terms: Public domain W3C validator