MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainf Unicode version

Theorem cdainf 8593
Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdainf

Proof of Theorem cdainf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . . 5
21brrelex2i 5046 . . . 4
3 cdadom3 8589 . . . 4
42, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 domtr 7588 . . 3
64, 5mpdan 668 . 2
7 infn0 7802 . . . 4
8 cdafn 8570 . . . . . . . 8
9 fndm 5685 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7
1110ndmov 6459 . . . . . 6
1211necon1ai 2688 . . . . 5
1312simpld 459 . . . 4
147, 13syl 16 . . 3
15 ovex 6324 . . . . 5
1615domen 7549 . . . 4
17 indi 3743 . . . . . . . . 9
18 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
20 cdaval 8571 . . . . . . . . . . . 12
2119, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
2218, 21sseqtrd 3539 . . . . . . . . . 10
23 df-ss 3489 . . . . . . . . . 10
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . 9
2517, 24syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
26 ensym 7584 . . . . . . . . 9
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8
2825, 27eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
2928ex 434 . . . . . 6
30 cdainflem 8592 . . . . . . 7
31 snex 4693 . . . . . . . . . . . 12
32 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . 12
3331, 32mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
34 inss2 3718 . . . . . . . . . . 11
35 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
3633, 34, 35mpisyl 18 . . . . . . . . . 10
37 0ex 4582 . . . . . . . . . . 11
38 xpsneng 7622 . . . . . . . . . . 11
3937, 38mpan2 671 . . . . . . . . . 10
40 domentr 7594 . . . . . . . . . 10
4136, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9
42 domen1 7679 . . . . . . . . 9
4341, 42syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
44 snex 4693 . . . . . . . . . . . 12
45 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
47 inss2 3718 . . . . . . . . . . 11
48 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
4946, 47, 48mpisyl 18 . . . . . . . . . 10
50 1on 7156 . . . . . . . . . . 11
51 xpsneng 7622 . . . . . . . . . . 11
5250, 51mpan2 671 . . . . . . . . . 10
53 domentr 7594 . . . . . . . . . 10
5449, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9
55 domen1 7679 . . . . . . . . 9
5654, 55syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
5743, 56jaod 380 . . . . . . 7
5830, 57syl5 32 . . . . . 6
5929, 58syld 44 . . . . 5
6059exlimdv 1724 . . . 4
6116, 60syl5bi 217 . . 3
6214, 61mpcom 36 . 2
636, 62impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   ccda 8568
This theorem is referenced by:  infdif  8610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator