Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdalepw Unicode version

Theorem cdalepw 8597
 Description: If is idempotent under cardinal sum and is dominated by the power set of , then so is the cardinal sum of and . (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdalepw

Proof of Theorem cdalepw
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . 3
21breq1d 4462 . 2
3 relen 7541 . . . . . . . . 9
43brrelex2i 5046 . . . . . . . 8
54adantr 465 . . . . . . 7
6 canth2g 7691 . . . . . . 7
7 sdomdom 7563 . . . . . . 7
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6
9 simpr 461 . . . . . 6
10 cdadom1 8587 . . . . . . 7
11 cdadom2 8588 . . . . . . 7
12 domtr 7588 . . . . . . 7
1310, 11, 12syl2an 477 . . . . . 6
148, 9, 13syl2anc 661 . . . . 5
15 pwcda1 8595 . . . . . 6
165, 15syl 16 . . . . 5
17 domentr 7594 . . . . 5
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
1918adantr 465 . . 3
20 0sdomg 7666 . . . . . . . . 9
215, 20syl 16 . . . . . . . 8
2221biimpar 485 . . . . . . 7
23 0sdom1dom 7737 . . . . . . 7
2422, 23sylib 196 . . . . . 6
25 cdadom2 8588 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
27 simpll 753 . . . . 5
28 domentr 7594 . . . . 5
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . 4
30 pwdom 7689 . . . 4
3129, 30syl 16 . . 3
32 domtr 7588 . . 3
3319, 31, 32syl2anc 661 . 2
34 cdacomen 8582 . . 3
35 reldom 7542 . . . . . . 7
3635brrelexi 5045 . . . . . 6
3736adantl 466 . . . . 5
38 cda0en 8580 . . . . 5
39 domen1 7679 . . . . 5
4037, 38, 393syl 20 . . . 4
419, 40mpbird 232 . . 3
42 endomtr 7593 . . 3
4334, 41, 42sylancr 663 . 2
442, 33, 43pm2.61ne 2772 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccda 8568 This theorem is referenced by:  gchdomtri  9028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-cda 8569
 Copyright terms: Public domain W3C validator