MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaxpdom Unicode version

Theorem cdaxpdom 8590
Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaxpdom

Proof of Theorem cdaxpdom
StepHypRef Expression
1 relsdom 7543 . . . . 5
21brrelex2i 5046 . . . 4
31brrelex2i 5046 . . . 4
4 cdaval 8571 . . . 4
52, 3, 4syl2an 477 . . 3
6 0ex 4582 . . . . . . 7
7 xpsneng 7622 . . . . . . 7
82, 6, 7sylancl 662 . . . . . 6
9 sdomen2 7682 . . . . . 6
108, 9syl 16 . . . . 5
1110ibir 242 . . . 4
12 1on 7156 . . . . . . 7
13 xpsneng 7622 . . . . . . 7
143, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6
15 sdomen2 7682 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
1716ibir 242 . . . 4
18 unxpdom 7747 . . . 4
1911, 17, 18syl2an 477 . . 3
205, 19eqbrtrd 4472 . 2
21 xpen 7700 . . 3
228, 14, 21syl2an 477 . 2
23 domentr 7594 . 2
2420, 22, 23syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccda 8568
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  9051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator