Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32fva Unicode version

Theorem cdleme32fva 31630
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. Value of at an atom not under . (Contributed by NM, 2-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b
cdleme32.l
cdleme32.j
cdleme32.m
cdleme32.a
cdleme32.h
cdleme32.u
cdleme32.c
cdleme32.d
cdleme32.e
cdleme32.i
cdleme32.n
cdleme32.o
cdleme32.f
Assertion
Ref Expression
cdleme32fva
Distinct variable groups:   , , , , ,   , , , , ,   ,   , , ,   ,   , ,   , , , , ,   , ,   , , , , ,   , , , , ,   ,N,   P, , , , ,   Q, , , , ,   , , , , ,   , , , , ,   , , ,   ,   ,   , ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ( , , , )   ( , )   ( , , , )   ( , , , , )   ( )   I( , , , , )   ( )   N( , , )   O( , , , , )

Proof of Theorem cdleme32fva
StepHypRef Expression
1 simp2l 984 . . . 4
2 cdleme32.b . . . . 5
3 cdleme32.a . . . . 5
42, 3atbase 30483 . . . 4
51, 4syl 16 . . 3
6 cdleme32.o . . . 4
7 eqid 2447 . . . 4
86, 7cdleme31so 31572 . . 3
95, 8syl 16 . 2
10 simp1 958 . . . 4
11 simp3 960 . . . 4
12 simp2 959 . . . 4
13 cdleme32.l . . . . 5
14 cdleme32.j . . . . 5
15 cdleme32.m . . . . 5
16 cdleme32.h . . . . 5
17 cdleme32.u . . . . 5
18 cdleme32.c . . . . 5
19 cdleme32.d . . . . 5
20 cdleme32.e . . . . 5
21 cdleme32.i . . . . 5
22 cdleme32.n . . . . 5
232, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme32snb 31629 . . . 4
2410, 11, 12, 23syl12anc 1183 . . 3
25 nfv 1631 . . . . . . . . 9
26 nfcsb1v 3289 . . . . . . . . . 10
2726nfeq2 2594 . . . . . . . . 9
2825, 27nfim 1836 . . . . . . . 8
29 breq1 4250 . . . . . . . . . . 11
3029notbid 287 . . . . . . . . . 10
31 csbeq1a 3282 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 2458 . . . . . . . . . 10
3330, 32imbi12d 313 . . . . . . . . 9
3433ax-gen 1556 . . . . . . . 8
35 ceqsralt 2992 . . . . . . . 8
3628, 34, 35mp3an12 1270 . . . . . . 7
3736adantr 453 . . . . . 6
38373ad2ant2 980 . . . . 5
39 simp11 988 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 eqid 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 No typesetting for: |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
4113, 15, 40, 3, 16lhpmat 31223 . . . . . . . . . . . . . . 15 No typesetting for: |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
4239, 12, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 No typesetting for: |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 No typesetting for: |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
4443oveq2d 6149 . . . . . . . . . . . 12 No typesetting for: |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = ( s .\/ ( 0. ` K ) ) )
45 simp11l 1069 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
47 hlol 30555 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
492, 3atbase 30483 . . . . . . . . . . . . . 14
5049ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13
512, 14, 40olj01 30419 . . . . . . . . . . . . 13 No typesetting for: |- ( ( K e. OL /\ s e. B ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
5248, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 No typesetting for: |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
5344, 52eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11
5453eqeq1d 2455 . . . . . . . . . 10
5543oveq2d 6149 . . . . . . . . . . . 12 No typesetting for: |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = ( N .\/ ( 0. ` K ) ) )
56 simpl11 1033 . . . . . . . . . . . . . 14
57 simpl12 1034 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simpl13 1035 . . . . . . . . . . . . . 14
59 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
60 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14
612, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme27cl 31559 . . . . . . . . . . . . . 14
6256, 57, 58, 59, 60, 61syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . . 13
632, 14, 40olj01 30419 . . . . . . . . . . . . 13 No typesetting for: |- ( ( K e. OL /\ N e. B ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
6448, 62, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 No typesetting for: |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
6555, 64eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11
6665eqeq2d 2458 . . . . . . . . . 10
6754, 66imbi12d 313 . . . . . . . . 9
6867expr 600 . . . . . . . 8
6968pm5.74d 240 . . . . . . 7
70 impexp 435 . . . . . . 7
71 bi2.04 352 . . . . . . 7
7269, 70, 713bitr4g 281 . . . . . 6
7372ralbidva 2732 . . . . 5
74 simp2r 985 . . . . . 6
75 biimt 327 . . . . . 6
7674, 75syl 16 . . . . 5
7738, 73, 763bitr4d 278 . . . 4
7877adantr 453 . . 3
7924, 78riota5 6629 . 2
809, 79eqtrd 2479 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  A.wal 1550  F/wnf 1554  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2610  A.wral 2716  [_csb 3274  ifcif 3769   class class class wbr 4247  e.cmpt 4305  `cfv 5505  (class class class)co 6133  iota_crio 6596   cbs 13524   cple 13591   cjn 14456   cmee 14457   cp0 14521   col 30368   catm 30457   chlt 30544   clh 31177
This theorem is referenced by:  cdleme32fva1  31631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-rep 4358  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rmo 2724  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-op 3854  df-uni 4048  df-iun 4128  df-iin 4129  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-id 4543  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-ov 6136  df-oprab 6137  df-mpt2 6138  df-1st 6403  df-2nd 6404  df-undef 6597  df-riota 6603  df-poset 14458  df-plt 14470  df-lub 14486  df-glb 14487  df-join 14488  df-meet 14489  df-p0 14523  df-p1 14524  df-lat 14530  df-clat 14592  df-oposet 30370  df-ol 30372  df-oml 30373  df-covers 30460  df-ats 30461  df-atl 30492  df-cvlat 30516  df-hlat 30545  df-llines 30691  df-lplanes 30692  df-lvols 30693  df-lines 30694  df-psubsp 30696  df-pmap 30697  df-padd 30989  df-lhyp 31181
  Copyright terms: Public domain W3C validator