MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cf0 Unicode version

Theorem cf0 8652
Description: Value of the cofinality function at 0. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 16-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cf0

Proof of Theorem cf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfub 8650 . . 3
2 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . 13
32biantru 505 . . . . . . . . . . . 12
4 ss0b 3815 . . . . . . . . . . . 12
53, 4bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11
65anbi2i 694 . . . . . . . . . 10
7 ancom 450 . . . . . . . . . 10
86, 7bitri 249 . . . . . . . . 9
98exbii 1667 . . . . . . . 8
10 0ex 4582 . . . . . . . . . 10
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
1211eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
1310, 12ceqsexv 3146 . . . . . . . . 9
14 card0 8360 . . . . . . . . . 10
1514eqeq2i 2475 . . . . . . . . 9
1613, 15bitri 249 . . . . . . . 8
179, 16bitri 249 . . . . . . 7
1817abbii 2591 . . . . . 6
19 df-sn 4030 . . . . . 6
2018, 19eqtr4i 2489 . . . . 5
2120inteqi 4290 . . . 4
2210intsn 4323 . . . 4
2321, 22eqtri 2486 . . 3
241, 23sseqtri 3535 . 2
25 ss0b 3815 . 2
2624, 25mpbi 208 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  {cab 2442  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  `cfv 5593   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cfeq0  8657  cflim2  8664  cfidm  8676  alephsing  8677  alephreg  8978  pwcfsdom  8979  rankcf  9176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-en 7537  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator