Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfcof Unicode version

Theorem cfcof 8675
 Description: If there is a cofinal map from to , then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof (A, ) and defines our ( ) as the minimum such that cof (A, ). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfcof
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem cfcof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfcoflem 8673 . . . 4
21imp 429 . . 3
3 cff1 8659 . . . . . . 7
4 f1f 5786 . . . . . . . . 9
54anim1i 568 . . . . . . . 8
65eximi 1656 . . . . . . 7
73, 6syl 16 . . . . . 6
8 eqid 2457 . . . . . . 7
98coftr 8674 . . . . . 6
107, 9syl5com 30 . . . . 5
11 eloni 4893 . . . . . . 7
12 cfon 8656 . . . . . . 7
13 eqid 2457 . . . . . . . 8
14 eqid 2457 . . . . . . . 8
15 eqid 2457 . . . . . . . 8
1613, 14, 15cofsmo 8670 . . . . . . 7
1711, 12, 16sylancl 662 . . . . . 6
18 3simpb 994 . . . . . . . . . . . 12
1918eximi 1656 . . . . . . . . . . 11
2012onsuci 6673 . . . . . . . . . . . . 13
2120oneli 4990 . . . . . . . . . . . 12
22 cfflb 8660 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
2419, 23syl5 32 . . . . . . . . . 10
2524imp 429 . . . . . . . . 9
26 onsssuc 4970 . . . . . . . . . . . 12
2721, 12, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
2827ibir 242 . . . . . . . . . 10
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
3025, 29sstrd 3513 . . . . . . . 8
3130exp31 604 . . . . . . 7
3231rexlimdv 2947 . . . . . 6
3317, 32syld 44 . . . . 5
3410, 33sylan9 657 . . . 4
3534imp 429 . . 3
362, 35eqssd 3520 . 2
3736ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  |^|cint 4286  e.cmpt 4510   cep 4794  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  cfv 5593  Smowsmo 7035  OrdIso`coi 7955   ccf 8339 This theorem is referenced by:  alephsing  8677 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344
 Copyright terms: Public domain W3C validator