MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfeq0 Unicode version

Theorem cfeq0 8657
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8648 . . . 4
21eqeq1d 2459 . . 3
3 vex 3112 . . . . . . . . 9
4 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
54anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
65exbidv 1714 . . . . . . . . 9
73, 6elab 3246 . . . . . . . 8
8 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
9 cardidm 8361 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
11 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
1210, 11mpbird 232 . . . . . . . . . 10
1312adantr 465 . . . . . . . . 9
1413exlimiv 1722 . . . . . . . 8
157, 14sylbi 195 . . . . . . 7
16 cardon 8346 . . . . . . 7
1715, 16syl6eqelr 2554 . . . . . 6
1817ssriv 3507 . . . . 5
19 onint0 6631 . . . . 5
2018, 19ax-mp 5 . . . 4
21 0ex 4582 . . . . . 6
22 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
2322anbi1d 704 . . . . . . 7
2423exbidv 1714 . . . . . 6
2521, 24elab 3246 . . . . 5
26 onss 6626 . . . . . . . . . . 11
27 sstr 3511 . . . . . . . . . . . 12
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
2926, 28sylan 471 . . . . . . . . . 10
30293adant2 1015 . . . . . . . . 9
31303adant3r 1225 . . . . . . . 8
32 simp2 997 . . . . . . . 8
33 simp3 998 . . . . . . . 8
34 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . 12
35 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
36 onssnum 8442 . . . . . . . . . . . . . 14
3735, 36mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
38 cardnueq0 8366 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4034, 39syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
4140biimpa 484 . . . . . . . . . 10
42 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . 12
43 rexeq 3055 . . . . . . . . . . . . 13
4443ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12
4542, 44anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
4645biimpa 484 . . . . . . . . . 10
4741, 46sylan 471 . . . . . . . . 9
48 rex0 3799 . . . . . . . . . . . . . 14
4948rgenw 2818 . . . . . . . . . . . . 13
50 r19.2z 3918 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
52 rexnal 2905 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52sylib 196 . . . . . . . . . . 11
5453necon4ai 2695 . . . . . . . . . 10
5554adantl 466 . . . . . . . . 9
5647, 55syl 16 . . . . . . . 8
5731, 32, 33, 56syl21anc 1227 . . . . . . 7
58573expib 1199 . . . . . 6
5958exlimdv 1724 . . . . 5
6025, 59syl5bi 217 . . . 4
6120, 60syl5bi 217 . . 3
622, 61sylbid 215 . 2
63 fveq2 5871 . . 3
64 cf0 8652 . . 3
6563, 64syl6eq 2514 . 2
6662, 65impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator