MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cff1 Unicode version

Theorem cff1 8659
Description: There is always a map from to (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cff1
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem cff1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8648 . . . 4
2 cardon 8346 . . . . . . . . 9
3 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
42, 3mpbiri 233 . . . . . . . 8
54adantr 465 . . . . . . 7
65exlimiv 1722 . . . . . 6
76abssi 3574 . . . . 5
8 cflem 8647 . . . . . 6
9 abn0 3804 . . . . . 6
108, 9sylibr 212 . . . . 5
11 onint 6630 . . . . 5
127, 10, 11sylancr 663 . . . 4
131, 12eqeltrd 2545 . . 3
14 fvex 5881 . . . 4
15 eqeq1 2461 . . . . . 6
1615anbi1d 704 . . . . 5
1716exbidv 1714 . . . 4
1814, 17elab 3246 . . 3
1913, 18sylib 196 . 2
20 simplr 755 . . . . . 6
21 onss 6626 . . . . . . . . 9
22 sstr 3511 . . . . . . . . 9
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . 8
2423ancoms 453 . . . . . . 7
2524ad2ant2r 746 . . . . . 6
26 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
27 onssnum 8442 . . . . . . . . . . 11
2826, 27mpan 670 . . . . . . . . . 10
29 cardid2 8355 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9
3130adantl 466 . . . . . . . 8
32 breq1 4455 . . . . . . . . 9
3332adantr 465 . . . . . . . 8
3431, 33mpbird 232 . . . . . . 7
35 bren 7545 . . . . . . 7
3634, 35sylib 196 . . . . . 6
3720, 25, 36syl2anc 661 . . . . 5
38 f1of1 5820 . . . . . . . . . . 11
39 f1ss 5791 . . . . . . . . . . . 12
4039ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
4138, 40sylan2 474 . . . . . . . . . 10
4241adantlr 714 . . . . . . . . 9
43423adant1 1014 . . . . . . . 8
44 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . 12
45 foelrn 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . 15
4945, 48syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14
5049rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . 13
5150ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . 12
5244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
5352impcom 430 . . . . . . . . . 10
5453adantll 713 . . . . . . . . 9
55543adant1 1014 . . . . . . . 8
5643, 55jca 532 . . . . . . 7
57563expia 1198 . . . . . 6
5857eximdv 1710 . . . . 5
5937, 58mpd 15 . . . 4
6059expl 618 . . 3
6160exlimdv 1724 . 2
6219, 61mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   cen 7533   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cfsmolem  8671  cfcoflem  8673  cfcof  8675  alephreg  8978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator