MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfflb Unicode version

Theorem cfflb 8660
Description: If there is a cofinal map from to , then is at least . This theorem and cff1 8659 motivate the picture of as the greatest lower bound of the domain of cofinal maps into . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfflb
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem cfflb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 5742 . . . . . . 7
21adantr 465 . . . . . 6
3 ffn 5736 . . . . . . . . . . . 12
4 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . 12
53, 4sylan 471 . . . . . . . . . . 11
6 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . 12
76rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
85, 7sylan 471 . . . . . . . . . 10
98exp31 604 . . . . . . . . 9
109rexlimdv 2947 . . . . . . . 8
1110ralimdv 2867 . . . . . . 7
1211imp 429 . . . . . 6
132, 12jca 532 . . . . 5
14 fvex 5881 . . . . . 6
15 cfval 8648 . . . . . . . . . . 11
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10
17163ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
1918rnex 6734 . . . . . . . . . . . . 13
20 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
22 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 rexeq 3055 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14
2621, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
2719, 26spcev 3201 . . . . . . . . . . . 12
28 abid 2444 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
30 intss1 4301 . . . . . . . . . . 11
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
32313adant2 1015 . . . . . . . . 9
3317, 32eqsstrd 3537 . . . . . . . 8
34333expib 1199 . . . . . . 7
35 sseq2 3525 . . . . . . 7
3634, 35sylibd 214 . . . . . 6
3714, 36vtocle 3183 . . . . 5
3813, 37sylan2 474 . . . 4
39 cardidm 8361 . . . . . . 7
40 onss 6626 . . . . . . . . . . . . . 14
411, 40sylan9ssr 3517 . . . . . . . . . . . . 13
42413adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12
43 onssnum 8442 . . . . . . . . . . . 12
4419, 42, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
45 cardid2 8355 . . . . . . . . . . 11
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
47 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . 13
48 dffn4 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
493, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
50 fodomnum 8459 . . . . . . . . . . . . 13
5147, 49, 50syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12
5251imp 429 . . . . . . . . . . 11
53523adant1 1014 . . . . . . . . . 10
54 endomtr 7593 . . . . . . . . . 10
5546, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9
56 cardon 8346 . . . . . . . . . . . 12
57 onenon 8351 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
59 carddom2 8379 . . . . . . . . . . 11
6058, 47, 59sylancr 663 . . . . . . . . . 10
61603ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
6255, 61mpbird 232 . . . . . . . 8
63 cardonle 8359 . . . . . . . . 9
64633ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
6562, 64sstrd 3513 . . . . . . 7
6639, 65syl5eqssr 3548 . . . . . 6
67663expa 1196 . . . . 5
6867adantrr 716 . . . 4
6938, 68sstrd 3513 . . 3
7069ex 434 . 2
7170exlimdv 1724 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cfsmolem  8671  cfcoflem  8673  cfcof  8675  inar1  9174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator