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Theorem cflim2 8664
Description: The cofinality function is a limit ordinal iff its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cflim2.1
Assertion
Ref Expression
cflim2

Proof of Theorem cflim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 3034 . . . . . . 7
2 selpw 4019 . . . . . . . . 9
3 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 ordsson 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73, 4, 63syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
983adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1310, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1713, 16mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
189, 17sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2218, 21mtand 659 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . 14
26 unissb 4281 . . . . . . . . . . . . . 14
2725, 26sylnib 304 . . . . . . . . . . . . 13
2827nrexdv 2913 . . . . . . . . . . . 12
29 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3231ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3533, 34brcnv 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 epel 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3735, 36bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3932, 38syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4129, 30, 40syl2and 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241impl 620 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . 14
4443rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . . 13
459, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4628, 45mtbid 300 . . . . . . . . . . 11
47 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
49 epweon 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 wess 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5149, 50mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 weso 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 cnvso 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5553, 54sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 onssnum 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5847, 57mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 cardid2 8355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 ensym 7584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6158, 59, 603syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 nnsdom 8091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6461, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 isfinite 8090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 wofi 7789 . . . . . . . . . . . . . . 15
6856, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
699, 68sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
70 wefr 4874 . . . . . . . . . . . . 13
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12
72 ssid 3522 . . . . . . . . . . . . 13
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
74 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 uni0 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7674, 75syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7876, 77syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 nlim0 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80 limeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8179, 80mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8278, 81syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382necon2ad 2670 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14
85843adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
87 fri 4846 . . . . . . . . . . . 12
8848, 71, 73, 86, 87syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
8946, 88mtand 659 . . . . . . . . . 10
90 cardon 8346 . . . . . . . . . . 11
91 eloni 4893 . . . . . . . . . . 11
92 ordom 6709 . . . . . . . . . . . 12
93 ordtri1 4916 . . . . . . . . . . . 12
9492, 93mpan 670 . . . . . . . . . . 11
9590, 91, 94mp2b 10 . . . . . . . . . 10
9689, 95sylibr 212 . . . . . . . . 9
972, 96syl3an2b 1265 . . . . . . . 8
98973expb 1197 . . . . . . 7
991, 98sylan2b 475 . . . . . 6
10099ralrimiva 2871 . . . . 5
101 ssiin 4380 . . . . 5
102100, 101sylibr 212 . . . 4
103 cflim2.1 . . . . 5
104103cflim3 8663 . . . 4
105102, 104sseqtr4d 3540 . . 3
106 fvex 5881 . . . . . . 7
107106dfiin2 4365 . . . . . 6
108104, 107syl6eq 2514 . . . . 5
109 cardlim 8374 . . . . . . . . 9
110 sseq2 3525 . . . . . . . . . 10
111 limeq 4895 . . . . . . . . . 10
112110, 111bibi12d 321 . . . . . . . . 9
113109, 112mpbiri 233 . . . . . . . 8
114113rexlimivw 2946 . . . . . . 7
115114ss2abi 3571 . . . . . 6
116 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
11790, 116mpbiri 233 . . . . . . . . 9
118117rexlimivw 2946 . . . . . . . 8
119118abssi 3574 . . . . . . 7
120 fvex 5881 . . . . . . . . 9
121108, 120syl6eqelr 2554 . . . . . . . 8
122 intex 4608 . . . . . . . 8
123121, 122sylibr 212 . . . . . . 7
124 onint 6630 . . . . . . 7
125119, 123, 124sylancr 663 . . . . . 6
126115, 125sseldi 3501 . . . . 5
127108, 126eqeltrd 2545 . . . 4
128 sseq2 3525 . . . . . 6
129 limeq 4895 . . . . . 6
130128, 129bibi12d 321 . . . . 5
131120, 130elab 3246 . . . 4
132127, 131sylib 196 . . 3
133105, 132mpbid 210 . 2
134 eloni 4893 . . . . . . 7
135 ordzsl 6680 . . . . . . 7
136134, 135sylib 196 . . . . . 6
137 df-3or 974 . . . . . . 7
138 orcom 387 . . . . . . 7
139 df-or 370 . . . . . . 7
140137, 138, 1393bitri 271 . . . . . 6
141136, 140sylib 196 . . . . 5
142 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
143 cf0 8652 . . . . . . . . 9
144142, 143syl6eq 2514 . . . . . . . 8
145 limeq 4895 . . . . . . . 8
146144, 145syl 16 . . . . . . 7
14779, 146mtbiri 303 . . . . . 6
148 1n0 7164 . . . . . . . . . 10
149 df1o2 7161 . . . . . . . . . . . 12
150149unieqi 4258 . . . . . . . . . . 11
151 0ex 4582 . . . . . . . . . . . 12
152151unisn 4264 . . . . . . . . . . 11
153150, 152eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
154148, 153neeqtrri 2756 . . . . . . . . 9
155 limuni 4943 . . . . . . . . . 10
156155necon3ai 2685 . . . . . . . . 9
157154, 156ax-mp 5 . . . . . . . 8
158 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
159 cfsuc 8658 . . . . . . . . . 10
160158, 159sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
161 limeq 4895 . . . . . . . . 9
162160, 161syl 16 . . . . . . . 8
163157, 162mtbiri 303 . . . . . . 7
164163rexlimiva 2945 . . . . . 6
165147, 164jaoi 379 . . . . 5
166141, 165syl6 33 . . . 4
167166con4d 105 . . 3
168 cff 8649 . . . . . . . . 9
169168fdmi 5741 . . . . . . . 8
170169eleq2i 2535 . . . . . . 7
171 ndmfv 5895 . . . . . . 7
172170, 171sylnbir 307 . . . . . 6
173172, 145syl 16 . . . . 5
17479, 173mtbiri 303 . . . 4
175174pm2.21d 106 . . 3
176167, 175pm2.61i 164 . 2
177133, 176impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331   class class class wbr 4452   cep 4794  Orwor 4804  Frwfr 4840  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   c1o 7142   cen 7533   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cfom  8665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cf 8343
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