MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cflm Unicode version

Theorem cflm 8651
Description: Value of the cofinality function at a limit ordinal. Part of Definition of cofinality of [Enderton] p. 257. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflm
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem cflm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2
2 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 sucssel 4975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109reximi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 eluni2 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1210, 11sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136, 12syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143, 13syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514ralrimdv 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . 14
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
19 uniss 4270 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 limuni 4943 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15
2219, 21syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
2418, 23jctird 544 . . . . . . . . . . . 12
25 eqss 3518 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11
2726imdistanda 693 . . . . . . . . . 10
2827anim2d 565 . . . . . . . . 9
2928eximdv 1710 . . . . . . . 8
3029ss2abdv 3572 . . . . . . 7
31 intss 4307 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
3332adantl 466 . . . . 5
34 limelon 4946 . . . . . 6
35 cfval 8648 . . . . . 6
3634, 35syl 16 . . . . 5
3733, 36sseqtr4d 3540 . . . 4
38 cfub 8650 . . . . 5
39 eqimss 3555 . . . . . . . . . 10
4039anim2i 569 . . . . . . . . 9
4140anim2i 569 . . . . . . . 8
4241eximi 1656 . . . . . . 7
4342ss2abi 3571 . . . . . 6
44 intss 4307 . . . . . 6
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5
4638, 45sstri 3512 . . . 4
4737, 46jctil 537 . . 3
48 eqss 3518 . . 3
4947, 48sylibr 212 . 2
501, 49sylan 471 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  gruina  9217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator