MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfpwsdom Unicode version

Theorem cfpwsdom 8980
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8965. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . . . . . . . 9
21cardid 8943 . . . . . . . 8
32ensymi 7585 . . . . . . 7
4 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
54canth2 7690 . . . . . . . . . . . . 13
64pw2en 7644 . . . . . . . . . . . . 13
7 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . . . 13
85, 6, 7mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
9 mapdom1 7702 . . . . . . . . . . . 12
10 sdomdomtr 7670 . . . . . . . . . . . 12
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
12 ficard 8961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 isfinite 8090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 sdomdom 7563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1614, 15sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1713, 16sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 alephgeom 8484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 alephon 8471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2218, 21sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 domtr 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15
2417, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
25 domnsym 7663 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2726expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
2827con2d 115 . . . . . . . . . . 11
29 cardidm 8361 . . . . . . . . . . . 12
30 iscard3 8495 . . . . . . . . . . . . 13
31 elun 3644 . . . . . . . . . . . . 13
32 df-or 370 . . . . . . . . . . . . 13
3330, 31, 323bitri 271 . . . . . . . . . . . 12
3429, 33mpbi 208 . . . . . . . . . . 11
3511, 28, 34syl56 34 . . . . . . . . . 10
36 alephfnon 8467 . . . . . . . . . . 11
37 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . . 11
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3935, 38syl6ib 226 . . . . . . . . 9
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
4140pwcfsdom 8979 . . . . . . . . . . 11
42 id 22 . . . . . . . . . . . 12
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
4442, 43oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
4542, 44breq12d 4465 . . . . . . . . . . 11
4641, 45mpbii 211 . . . . . . . . . 10
4746rexlimivw 2946 . . . . . . . . 9
4839, 47syl6 33 . . . . . . . 8
4948imp 429 . . . . . . 7
50 ensdomtr 7673 . . . . . . 7
513, 49, 50sylancr 663 . . . . . 6
52 fvex 5881 . . . . . . . . 9
5352enref 7568 . . . . . . . 8
54 mapen 7701 . . . . . . . 8
552, 53, 54mp2an 672 . . . . . . 7
56 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8
57 mapxpen 7703 . . . . . . . 8
5856, 19, 52, 57mp3an 1324 . . . . . . 7
5955, 58entri 7589 . . . . . 6
60 sdomentr 7671 . . . . . 6
6151, 59, 60sylancl 662 . . . . 5
624xpdom2 7632 . . . . . . . . . 10
6318biimpi 194 . . . . . . . . . . 11
64 infxpen 8413 . . . . . . . . . . 11
6519, 63, 64sylancr 663 . . . . . . . . . 10
66 domentr 7594 . . . . . . . . . 10
6762, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9
68 nsuceq0 4963 . . . . . . . . . . 11
69 dom0 7665 . . . . . . . . . . 11
7068, 69nemtbir 2785 . . . . . . . . . 10
71 df-2o 7150 . . . . . . . . . . . . . 14
7271breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . 13
73 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
7472, 73syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
7574biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
7675adantld 467 . . . . . . . . . 10
7770, 76mtoi 178 . . . . . . . . 9
78 mapdom2 7708 . . . . . . . . 9
7967, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . 8
80 domnsym 7663 . . . . . . . 8
8179, 80syl 16 . . . . . . 7
8281expl 618 . . . . . 6
8382com12 31 . . . . 5
8461, 83mt2d 117 . . . 4
85 domtri 8952 . . . . . 6
8652, 4, 85mp2an 672 . . . . 5
8786biimpri 206 . . . 4
8884, 87nsyl2 127 . . 3
8988ex 434 . 2
90 fndm 5685 . . . . . 6
9136, 90ax-mp 5 . . . . 5
9291eleq2i 2535 . . . 4
93 ndmfv 5895 . . . 4
9492, 93sylnbir 307 . . 3
95 1n0 7164 . . . . . 6
96 1onn 7307 . . . . . . . 8
9796elexi 3119 . . . . . . 7
98970sdom 7668 . . . . . 6
9995, 98mpbir 209 . . . . 5
100 id 22 . . . . . 6
101 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
102 map0e 7476 . . . . . . . . . . . 12
10356, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
104101, 103syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
105104fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
106 cardnn 8365 . . . . . . . . . 10
10796, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9
108105, 107syl6eq 2514 . . . . . . . 8
109108fveq2d 5875 . . . . . . 7
110 df-1o 7149 . . . . . . . . 9
111110fveq2i 5874 . . . . . . . 8
112 0elon 4936 . . . . . . . . 9
113 cfsuc 8658 . . . . . . . . 9
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8
115111, 114eqtri 2486 . . . . . . 7
116109, 115syl6eq 2514 . . . . . 6
117100, 116breq12d 4465 . . . . 5
11899, 117mpbiri 233 . . . 4
119118a1d 25 . . 3
12094, 119syl 16 . 2
12189, 120pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   char 8003   ccrd 8337   cale 8338   ccf 8339
This theorem is referenced by:  alephom  8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator