Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfslb2n Unicode version

Theorem cfslb2n 8669
 Description: Any small collection of small subsets of cannot have union , where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 8667. This is a common application of cofinality: under AC, is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1
Assertion
Ref Expression
cfslb2n
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem cfslb2n
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limord 4942 . . . . . . . . . 10
2 ordsson 6625 . . . . . . . . . 10
3 sstr 3511 . . . . . . . . . . 11
43expcom 435 . . . . . . . . . 10
51, 2, 43syl 20 . . . . . . . . 9
6 onsucuni 6663 . . . . . . . . 9
75, 6syl6 33 . . . . . . . 8
87adantrd 468 . . . . . . 7
98ralimdv 2867 . . . . . 6
10 uniiun 4383 . . . . . . 7
11 ss2iun 4346 . . . . . . 7
1210, 11syl5eqss 3547 . . . . . 6
139, 12syl6 33 . . . . 5
1413imp 429 . . . 4
15 cfslb.1 . . . . . . . . . 10
1615cfslbn 8668 . . . . . . . . 9
17163expib 1199 . . . . . . . 8
18 ordsucss 6653 . . . . . . . 8
191, 17, 18sylsyld 56 . . . . . . 7
2019ralimdv 2867 . . . . . 6
21 iunss 4371 . . . . . 6
2220, 21syl6ibr 227 . . . . 5
2322imp 429 . . . 4
24 sseq1 3524 . . . . . 6
25 eqss 3518 . . . . . . 7
2625simplbi2com 627 . . . . . 6
2724, 26syl6bi 228 . . . . 5
2827com3l 81 . . . 4
2914, 23, 28sylc 60 . . 3
30 limsuc 6684 . . . . . . . . 9
3117, 30sylibd 214 . . . . . . . 8
3231ralimdv 2867 . . . . . . 7
3332imp 429 . . . . . 6
34 r19.29 2992 . . . . . . . 8
35 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
3635biimparc 487 . . . . . . . . 9
3736rexlimivw 2946 . . . . . . . 8
3834, 37syl 16 . . . . . . 7
3938ex 434 . . . . . 6
4033, 39syl 16 . . . . 5
4140abssdv 3573 . . . 4
42 vex 3112 . . . . . . . . 9
4342uniex 6596 . . . . . . . 8
4443sucex 6646 . . . . . . 7
4544dfiun2 4364 . . . . . 6
4645eqeq1i 2464 . . . . 5
4715cfslb 8667 . . . . . 6
48473expia 1198 . . . . 5
4946, 48syl5bi 217 . . . 4
5041, 49syldan 470 . . 3
51 eqid 2457 . . . . . . . . 9
5251rnmpt 5253 . . . . . . . 8
5344, 51fnmpti 5714 . . . . . . . . . 10
54 dffn4 5806 . . . . . . . . . 10
5553, 54mpbi 208 . . . . . . . . 9
56 relsdom 7543 . . . . . . . . . . 11
5756brrelexi 5045 . . . . . . . . . 10
58 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
59 foeq2 5797 . . . . . . . . . . . . 13
60 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
6258, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
63 cfon 8656 . . . . . . . . . . . . 13
64 sdomdom 7563 . . . . . . . . . . . . 13
65 ondomen 8439 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
67 fodomnum 8459 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
6962, 68vtoclg 3167 . . . . . . . . . 10
7057, 69mpcom 36 . . . . . . . . 9
7155, 70mpi 17 . . . . . . . 8
7252, 71syl5eqbrr 4486 . . . . . . 7
73 domtr 7588 . . . . . . 7
7472, 73sylan2 474 . . . . . 6
75 domnsym 7663 . . . . . 6
7674, 75syl 16 . . . . 5
7776pm2.01da 442 . . . 4
7877a1i 11 . . 3
7929, 50, 783syld 55 . 2
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   ccf 8339 This theorem is referenced by:  tskuni  9182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344