Theorem cfslb2n 8669

Description: Any small collection of small subsets of cannot have union , where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 8667. This is a common application of cofinality: under AC, is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cfslb.1

Assertion

Ref	Expression
cfslb2n

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem cfslb2n

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 4942	. . . . . . . . . 10
2		ordsson 6625	. . . . . . . . . 10
3		sstr 3511	. . . . . . . . . . 11
4	3	expcom 435	. . . . . . . . . 10
5	1, 2, 4	3syl 20	. . . . . . . . 9
6		onsucuni 6663	. . . . . . . . 9
7	5, 6	syl6 33	. . . . . . . 8
8	7	adantrd 468	. . . . . . 7
9	8	ralimdv 2867	. . . . . 6
10		uniiun 4383	. . . . . . 7
11		ss2iun 4346	. . . . . . 7
12	10, 11	syl5eqss 3547	. . . . . 6
13	9, 12	syl6 33	. . . . 5
14	13	imp 429	. . . 4
15		cfslb.1	. . . . . . . . . 10
16	15	cfslbn 8668	. . . . . . . . 9
17	16	3expib 1199	. . . . . . . 8
18		ordsucss 6653	. . . . . . . 8
19	1, 17, 18	sylsyld 56	. . . . . . 7
20	19	ralimdv 2867	. . . . . 6
21		iunss 4371	. . . . . 6
22	20, 21	syl6ibr 227	. . . . 5
23	22	imp 429	. . . 4
24		sseq1 3524	. . . . . 6
25		eqss 3518	. . . . . . 7
26	25	simplbi2com 627	. . . . . 6
27	24, 26	syl6bi 228	. . . . 5
28	27	com3l 81	. . . 4
29	14, 23, 28	sylc 60	. . 3
30		limsuc 6684	. . . . . . . . 9
31	17, 30	sylibd 214	. . . . . . . 8
32	31	ralimdv 2867	. . . . . . 7
33	32	imp 429	. . . . . 6
34		r19.29 2992	. . . . . . . 8
35		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
36	35	biimparc 487	. . . . . . . . 9
37	36	rexlimivw 2946	. . . . . . . 8
38	34, 37	syl 16	. . . . . . 7
39	38	ex 434	. . . . . 6
40	33, 39	syl 16	. . . . 5
41	40	abssdv 3573	. . . 4
42		vex 3112	. . . . . . . . 9
43	42	uniex 6596	. . . . . . . 8
44	43	sucex 6646	. . . . . . 7
45	44	dfiun2 4364	. . . . . 6
46	45	eqeq1i 2464	. . . . 5
47	15	cfslb 8667	. . . . . 6
48	47	3expia 1198	. . . . 5
49	46, 48	syl5bi 217	. . . 4
50	41, 49	syldan 470	. . 3
51		eqid 2457	. . . . . . . . 9
52	51	rnmpt 5253	. . . . . . . 8
53	44, 51	fnmpti 5714	. . . . . . . . . 10
54		dffn4 5806	. . . . . . . . . 10
55	53, 54	mpbi 208	. . . . . . . . 9
56		relsdom 7543	. . . . . . . . . . 11
57	56	brrelexi 5045	. . . . . . . . . 10
58		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
59		foeq2 5797	. . . . . . . . . . . . 13
60		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . 13
61	59, 60	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
62	58, 61	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
63		cfon 8656	. . . . . . . . . . . . 13
64		sdomdom 7563	. . . . . . . . . . . . 13
65		ondomen 8439	. . . . . . . . . . . . 13
66	63, 64, 65	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12
67		fodomnum 8459	. . . . . . . . . . . 12
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . . . 11
69	62, 68	vtoclg 3167	. . . . . . . . . 10
70	57, 69	mpcom 36	. . . . . . . . 9
71	55, 70	mpi 17	. . . . . . . 8
72	52, 71	syl5eqbrr 4486	. . . . . . 7
73		domtr 7588	. . . . . . 7
74	72, 73	sylan2 474	. . . . . 6
75		domnsym 7663	. . . . . 6
76	74, 75	syl 16	. . . . 5
77	76	pm2.01da 442	. . . 4
78	77	a1i 11	. . 3
79	29, 50, 78	3syld 55	. 2
80	79	necon2ad 2670	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  cdom 7534  csdm 7535  ccrd 8337  ccf 8339

This theorem is referenced by:  tskuni  9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344