Theorem cfslbn 8668

Description: Any subset of smaller than its cofinality has union less than . (This is the contrapositive to cfslb 8667.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cfslb.1

Assertion

Ref	Expression
cfslbn

Proof of Theorem cfslbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4270	. . . . . . . 8
2		limuni 4943	. . . . . . . . 9
3	2	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
4	1, 3	syl5ibr 221	. . . . . . 7
5	4	imp 429	. . . . . 6
6		limord 4942	. . . . . . . . . . . 12
7		ordsson 6625	. . . . . . . . . . . 12
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11
9		sstr2 3510	. . . . . . . . . . 11
10	8, 9	syl5com 30	. . . . . . . . . 10
11		ssorduni 6621	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	syl6 33	. . . . . . . . 9
13	12, 6	jctird 544	. . . . . . . 8
14		ordsseleq 4912	. . . . . . . 8
15	13, 14	syl6 33	. . . . . . 7
16	15	imp 429	. . . . . 6
17	5, 16	mpbid 210	. . . . 5
18	17	ord 377	. . . 4
19		cfslb.1	. . . . . . 7
20	19	cfslb 8667	. . . . . 6
21		domnsym 7663	. . . . . 6
22	20, 21	syl 16	. . . . 5
23	22	3expia 1198	. . . 4
24	18, 23	syld 44	. . 3
25	24	con4d 105	. 2
26	25	3impia 1193	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  `cfv 5593  cdom 7534  csdm 7535  ccf 8339

This theorem is referenced by:  cfslb2n  8669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-cf 8343