MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfss Unicode version

Theorem cfss 8666
Description: There is a cofinal subset of of cardinality . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfss.1
Assertion
Ref Expression
cfss
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cfss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfss.1 . . . . . 6
21cflim3 8663 . . . . 5
3 fvex 5881 . . . . . . 7
43dfiin2 4365 . . . . . 6
5 cardon 8346 . . . . . . . . . 10
6 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . 9
87rexlimivw 2946 . . . . . . . 8
98abssi 3574 . . . . . . 7
10 limuni 4943 . . . . . . . . . . . 12
1110eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
12 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14
1413biantrud 507 . . . . . . . . . . . . 13
15 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
171pwid 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1917, 18mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . 15
2116, 20bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14
2221anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13
2314, 22bitr2d 254 . . . . . . . . . . . 12
241, 23spcev 3201 . . . . . . . . . . 11
2511, 24syl 16 . . . . . . . . . 10
26 df-rex 2813 . . . . . . . . . . 11
27 rabid 3034 . . . . . . . . . . . . 13
2827anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12
2928exbii 1667 . . . . . . . . . . 11
3026, 29bitri 249 . . . . . . . . . 10
3125, 30sylibr 212 . . . . . . . . 9
32 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
33 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
3433rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10
3532, 34spcev 3201 . . . . . . . . 9
3631, 35syl 16 . . . . . . . 8
37 abn0 3804 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 212 . . . . . . 7
39 onint 6630 . . . . . . 7
409, 38, 39sylancr 663 . . . . . 6
414, 40syl5eqel 2549 . . . . 5
422, 41eqeltrd 2545 . . . 4
43 fvex 5881 . . . . 5
44 eqeq1 2461 . . . . . 6
4544rexbidv 2968 . . . . 5
4643, 45elab 3246 . . . 4
4742, 46sylib 196 . . 3
48 df-rex 2813 . . 3
4947, 48sylib 196 . 2
50 simprl 756 . . . . . . . 8
5150, 27sylib 196 . . . . . . 7
5251simpld 459 . . . . . 6
5352elpwid 4022 . . . . 5
54 simpl 457 . . . . . . 7
55 vex 3112 . . . . . . . . . 10
56 limord 4942 . . . . . . . . . . . 12
57 ordsson 6625 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11
59 sstr 3511 . . . . . . . . . . 11
6058, 59sylan2 474 . . . . . . . . . 10
61 onssnum 8442 . . . . . . . . . 10
6255, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . 9
63 cardid2 8355 . . . . . . . . 9
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8
6564ensymd 7586 . . . . . . 7
6653, 54, 65syl2anc 661 . . . . . 6
67 simprr 757 . . . . . 6
6866, 67breqtrrd 4478 . . . . 5
6951simprd 463 . . . . 5
7053, 68, 693jca 1176 . . . 4
7170ex 434 . . 3
7271eximdv 1710 . 2
7349, 72mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator