MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfsuc Unicode version

Theorem cfsuc 8658
Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfsuc

Proof of Theorem cfsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sucelon 6652 . . 3
2 cfval 8648 . . 3
31, 2sylbi 195 . 2
4 cardsn 8371 . . . . . 6
54eqcomd 2465 . . . . 5
6 snidg 4055 . . . . . . . 8
7 elsuci 4949 . . . . . . . . 9
8 onelss 4925 . . . . . . . . . 10
9 eqimss 3555 . . . . . . . . . . 11
109a1i 11 . . . . . . . . . 10
118, 10jaod 380 . . . . . . . . 9
127, 11syl5 32 . . . . . . . 8
13 sseq2 3525 . . . . . . . . 9
1413rspcev 3210 . . . . . . . 8
156, 12, 14syl6an 545 . . . . . . 7
1615ralrimiv 2869 . . . . . 6
17 ssun2 3667 . . . . . . 7
18 df-suc 4889 . . . . . . 7
1917, 18sseqtr4i 3536 . . . . . 6
2016, 19jctil 537 . . . . 5
21 snex 4693 . . . . . 6
22 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2322eqeq2d 2471 . . . . . . 7
24 sseq1 3524 . . . . . . . 8
25 rexeq 3055 . . . . . . . . 9
2625ralbidv 2896 . . . . . . . 8
2724, 26anbi12d 710 . . . . . . 7
2823, 27anbi12d 710 . . . . . 6
2921, 28spcev 3201 . . . . 5
305, 20, 29syl2anc 661 . . . 4
31 1on 7156 . . . . . 6
3231elexi 3119 . . . . 5
33 eqeq1 2461 . . . . . . 7
3433anbi1d 704 . . . . . 6
3534exbidv 1714 . . . . 5
3632, 35elab 3246 . . . 4
3730, 36sylibr 212 . . 3
38 el1o 7168 . . . . 5
39 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 onssnum 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 cardnueq0 8366 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4539, 44syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14
4645biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
47 rex0 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948nrex 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 nsuceq0 4963 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 r19.2z 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
5349, 52mto 176 . . . . . . . . . . . . . 14
54 rexeq 3055 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13
5746, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5857intnand 916 . . . . . . . . . . 11
59 imnan 422 . . . . . . . . . . 11
6058, 59mpbi 208 . . . . . . . . . 10
61 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 onss 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6462, 63sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6561, 64sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
68673adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12
69 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12
70 simp3 998 . . . . . . . . . . . 12
7168, 69, 70jca31 534 . . . . . . . . . . 11
72713expib 1199 . . . . . . . . . 10
7360, 72mtoi 178 . . . . . . . . 9
7473nexdv 1884 . . . . . . . 8
75 0ex 4582 . . . . . . . . 9
76 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
7776anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
7877exbidv 1714 . . . . . . . . 9
7975, 78elab 3246 . . . . . . . 8
8074, 79sylnibr 305 . . . . . . 7
8180adantr 465 . . . . . 6
82 eleq1 2529 . . . . . . 7
8382adantl 466 . . . . . 6
8481, 83mtbird 301 . . . . 5
8538, 84sylan2b 475 . . . 4
8685ralrimiva 2871 . . 3
87 cardon 8346 . . . . . . . 8
88 eleq1 2529 . . . . . . . 8
8987, 88mpbiri 233 . . . . . . 7
9089adantr 465 . . . . . 6
9190exlimiv 1722 . . . . 5
9291abssi 3574 . . . 4
93 oneqmini 4934 . . . 4
9492, 93ax-mp 5 . . 3
9537, 86, 94syl2anc 661 . 2
963, 95eqtr4d 2501 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  |^|cint 4286   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593   c1o 7142   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cflim2  8664  cfpwsdom  8980  rankcf  9176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cf 8343
  Copyright terms: Public domain W3C validator