Theorem cjreb 12956

Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjreb

Proof of Theorem cjreb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 12943	. . . . . 6
2	1	recnd 9643	. . . . 5
3		ax-icn 9572	. . . . . 6
4		imcl 12944	. . . . . . 7
5	4	recnd 9643	. . . . . 6
6		mulcl 9597	. . . . . 6
7	3, 5, 6	sylancr 663	. . . . 5
8	2, 7	negsubd 9960	. . . 4
9		mulneg2 10019	. . . . . 6
10	3, 5, 9	sylancr 663	. . . . 5
11	10	oveq2d 6312	. . . 4
12		remim 12950	. . . 4
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2509	. . 3
14		replim 12949	. . 3
15	13, 14	eqeq12d 2479	. 2
16	5	negcld 9941	. . . 4
17		mulcl 9597	. . . 4
18	3, 16, 17	sylancr 663	. . 3
19	2, 18, 7	addcand 9804	. 2
20		eqcom 2466	. . . 4
21	5	eqnegd 10290	. . . 4
22	20, 21	syl5bb 257	. . 3
23		ine0 10017	. . . . . 6
24	3, 23	pm3.2i 455	. . . . 5
25	24	a1i 11	. . . 4
26		mulcan 10211	. . . 4
27	16, 5, 25, 26	syl3anc 1228	. . 3
28		reim0b 12952	. . 3
29	22, 27, 28	3bitr4d 285	. 2
30	15, 19, 29	3bitrrd 280	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829  ccj 12929  cre 12930  cim 12931

This theorem is referenced by:  cjre  12972  cjmulrcl  12977  cjrebi  13007  cjrebd  13035  hire  26011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934