Theorem cju 10557

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cju

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 9613	. . 3
2		recn 9603	. . . . . . 7
3		ax-icn 9572	. . . . . . . 8
4		recn 9603	. . . . . . . 8
5		mulcl 9597	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	sylancr 663	. . . . . . 7
7		subcl 9842	. . . . . . 7
8	2, 6, 7	syl2an 477	. . . . . 6
9	2	adantr 465	. . . . . . . 8
10	6	adantl 466	. . . . . . . 8
11	9, 10, 9	ppncand 9994	. . . . . . 7
12		readdcl 9596	. . . . . . . . 9
13	12	anidms 645	. . . . . . . 8
14	13	adantr 465	. . . . . . 7
15	11, 14	eqeltrd 2545	. . . . . 6
16	9, 10, 10	pnncand 9993	. . . . . . . . . 10
17	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
18	4	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18, 18	adddid 9641	. . . . . . . . . 10
20	16, 19	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
22	18, 18	addcld 9636	. . . . . . . . 9
23		mulass 9601	. . . . . . . . . 10
24	3, 3, 23	mp3an12 1314	. . . . . . . . 9
25	22, 24	syl 16	. . . . . . . 8
26	21, 25	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
27		ixi 10203	. . . . . . . . 9
28		1re 9616	. . . . . . . . . 10
29	28	renegcli 9903	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeltri 2541	. . . . . . . 8
31		simpr 461	. . . . . . . . 9
32	31, 31	readdcld 9644	. . . . . . . 8
33		remulcl 9598	. . . . . . . 8
34	30, 32, 33	sylancr 663	. . . . . . 7
35	26, 34	eqeltrd 2545	. . . . . 6
36		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
37	36	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
38		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
39	38	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
40	39	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
41	37, 40	anbi12d 710	. . . . . . 7
42	41	rspcev 3210	. . . . . 6
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1226	. . . . 5
44		oveq1 6303	. . . . . . . 8
45	44	eleq1d 2526	. . . . . . 7
46		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
47	46	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
48	47	eleq1d 2526	. . . . . . 7
49	45, 48	anbi12d 710	. . . . . 6
50	49	rexbidv 2968	. . . . 5
51	43, 50	syl5ibrcom 222	. . . 4
52	51	rexlimivv 2954	. . 3
53	1, 52	syl 16	. 2
54		an4 824	. . . 4
55		resubcl 9906	. . . . . . 7
56		pnpcan 9881	. . . . . . . . 9
57	56	3expb 1197	. . . . . . . 8
58	57	eleq1d 2526	. . . . . . 7
59	55, 58	syl5ib 219	. . . . . 6
60		resubcl 9906	. . . . . . . 8
61	60	ancoms 453	. . . . . . 7
62	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10
63		subcl 9842	. . . . . . . . . . 11
64	63	adantrl 715	. . . . . . . . . 10
65		subcl 9842	. . . . . . . . . . 11
66	65	adantrr 716	. . . . . . . . . 10
67	62, 64, 66	subdid 10037	. . . . . . . . 9
68		nnncan1 9878	. . . . . . . . . . . 12
69	68	3com23 1202	. . . . . . . . . . 11
70	69	3expb 1197	. . . . . . . . . 10
71	70	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
72	67, 71	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
73	72	eleq1d 2526	. . . . . . 7
74	61, 73	syl5ib 219	. . . . . 6
75	59, 74	anim12d 563	. . . . 5
76		rimul 10552	. . . . . 6
77	76	a1i 11	. . . . 5
78		subeq0 9868	. . . . . . 7
79	78	biimpd 207	. . . . . 6
80	79	adantl 466	. . . . 5
81	75, 77, 80	3syld 55	. . . 4
82	54, 81	syl5bi 217	. . 3
83	82	ralrimivva 2878	. 2
84		oveq2 6304	. . . . 5
85	84	eleq1d 2526	. . . 4
86		oveq2 6304	. . . . . 6
87	86	oveq2d 6312	. . . . 5
88	87	eleq1d 2526	. . . 4
89	85, 88	anbi12d 710	. . 3
90	89	reu4 3293	. 2
91	53, 83, 90	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  cjth  12936  cjf  12937  remim  12950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232