MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cju Unicode version

Theorem cju 10557
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cju
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9613 . . 3
2 recn 9603 . . . . . . 7
3 ax-icn 9572 . . . . . . . 8
4 recn 9603 . . . . . . . 8
5 mulcl 9597 . . . . . . . 8
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . 7
7 subcl 9842 . . . . . . 7
82, 6, 7syl2an 477 . . . . . 6
92adantr 465 . . . . . . . 8
106adantl 466 . . . . . . . 8
119, 10, 9ppncand 9994 . . . . . . 7
12 readdcl 9596 . . . . . . . . 9
1312anidms 645 . . . . . . . 8
1413adantr 465 . . . . . . 7
1511, 14eqeltrd 2545 . . . . . 6
169, 10, 10pnncand 9993 . . . . . . . . . 10
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11
184adantl 466 . . . . . . . . . . 11
1917, 18, 18adddid 9641 . . . . . . . . . 10
2016, 19eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6312 . . . . . . . 8
2218, 18addcld 9636 . . . . . . . . 9
23 mulass 9601 . . . . . . . . . 10
243, 3, 23mp3an12 1314 . . . . . . . . 9
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8
2621, 25eqtr4d 2501 . . . . . . 7
27 ixi 10203 . . . . . . . . 9
28 1re 9616 . . . . . . . . . 10
2928renegcli 9903 . . . . . . . . 9
3027, 29eqeltri 2541 . . . . . . . 8
31 simpr 461 . . . . . . . . 9
3231, 31readdcld 9644 . . . . . . . 8
33 remulcl 9598 . . . . . . . 8
3430, 32, 33sylancr 663 . . . . . . 7
3526, 34eqeltrd 2545 . . . . . 6
36 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
3736eleq1d 2526 . . . . . . . 8
38 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
3938oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
4039eleq1d 2526 . . . . . . . 8
4137, 40anbi12d 710 . . . . . . 7
4241rspcev 3210 . . . . . 6
438, 15, 35, 42syl12anc 1226 . . . . 5
44 oveq1 6303 . . . . . . . 8
4544eleq1d 2526 . . . . . . 7
46 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4746oveq2d 6312 . . . . . . . 8
4847eleq1d 2526 . . . . . . 7
4945, 48anbi12d 710 . . . . . 6
5049rexbidv 2968 . . . . 5
5143, 50syl5ibrcom 222 . . . 4
5251rexlimivv 2954 . . 3
531, 52syl 16 . 2
54 an4 824 . . . 4
55 resubcl 9906 . . . . . . 7
56 pnpcan 9881 . . . . . . . . 9
57563expb 1197 . . . . . . . 8
5857eleq1d 2526 . . . . . . 7
5955, 58syl5ib 219 . . . . . 6
60 resubcl 9906 . . . . . . . 8
6160ancoms 453 . . . . . . 7
623a1i 11 . . . . . . . . . 10
63 subcl 9842 . . . . . . . . . . 11
6463adantrl 715 . . . . . . . . . 10
65 subcl 9842 . . . . . . . . . . 11
6665adantrr 716 . . . . . . . . . 10
6762, 64, 66subdid 10037 . . . . . . . . 9
68 nnncan1 9878 . . . . . . . . . . . 12
69683com23 1202 . . . . . . . . . . 11
70693expb 1197 . . . . . . . . . 10
7170oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
7267, 71eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
7372eleq1d 2526 . . . . . . 7
7461, 73syl5ib 219 . . . . . 6
7559, 74anim12d 563 . . . . 5
76 rimul 10552 . . . . . 6
7776a1i 11 . . . . 5
78 subeq0 9868 . . . . . . 7
7978biimpd 207 . . . . . 6
8079adantl 466 . . . . 5
8175, 77, 803syld 55 . . . 4
8254, 81syl5bi 217 . . 3
8382ralrimivva 2878 . 2
84 oveq2 6304 . . . . 5
8584eleq1d 2526 . . . 4
86 oveq2 6304 . . . . . 6
8786oveq2d 6312 . . . . 5
8887eleq1d 2526 . . . 4
8985, 88anbi12d 710 . . 3
9089reu4 3293 . 2
9153, 83, 90sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829
This theorem is referenced by:  cjth  12936  cjf  12937  remim  12950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator