MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2prod Unicode version

Theorem clim2prod 13697
Description: The limit of an infinite product with an initial segment added. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2prod.1
clim2prod.2
clim2prod.3
clim2prod.4
Assertion
Ref Expression
clim2prod
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem clim2prod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2
2 clim2prod.1 . . . . 5
3 uzssz 11129 . . . . 5
42, 3eqsstri 3533 . . . 4
5 clim2prod.2 . . . 4
64, 5sseldi 3501 . . 3
76peano2zd 10997 . 2
8 clim2prod.4 . 2
95, 2syl6eleq 2555 . . . . 5
10 eluzel2 11115 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 clim2prod.3 . . . 4
132, 11, 12prodf 13696 . . 3
1413, 5ffvelrnd 6032 . 2
15 seqex 12109 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 peano2uz 11163 . . . . . . . 8
18 uzss 11130 . . . . . . . 8
199, 17, 183syl 20 . . . . . . 7
2019, 2syl6sseqr 3550 . . . . . 6
2120sselda 3503 . . . . 5
2221, 12syldan 470 . . . 4
231, 7, 22prodf 13696 . . 3
2423ffvelrnda 6031 . 2
25 fveq2 5871 . . . . . 6
26 fveq2 5871 . . . . . . 7
2726oveq2d 6312 . . . . . 6
2825, 27eqeq12d 2479 . . . . 5
2928imbi2d 316 . . . 4
30 fveq2 5871 . . . . . 6
31 fveq2 5871 . . . . . . 7
3231oveq2d 6312 . . . . . 6
3330, 32eqeq12d 2479 . . . . 5
3433imbi2d 316 . . . 4
35 fveq2 5871 . . . . . 6
36 fveq2 5871 . . . . . . 7
3736oveq2d 6312 . . . . . 6
3835, 37eqeq12d 2479 . . . . 5
3938imbi2d 316 . . . 4
40 fveq2 5871 . . . . . 6
41 fveq2 5871 . . . . . . 7
4241oveq2d 6312 . . . . . 6
4340, 42eqeq12d 2479 . . . . 5
4443imbi2d 316 . . . 4
459adantr 465 . . . . . . 7
46 seqp1 12122 . . . . . . 7
4745, 46syl 16 . . . . . 6
48 seq1 12120 . . . . . . . 8
4948adantl 466 . . . . . . 7
5049oveq2d 6312 . . . . . 6
5147, 50eqtr4d 2501 . . . . 5
5251expcom 435 . . . 4
5319sselda 3503 . . . . . . . . . 10
54 seqp1 12122 . . . . . . . . . 10
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9
5655adantr 465 . . . . . . . 8
57 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
5857adantl 466 . . . . . . . 8
5914adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6023ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11
61 peano2uz 11163 . . . . . . . . . . . . . 14
6261, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . 13
6353, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6412ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
65 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
6766rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 67mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12
6963, 68syldan 470 . . . . . . . . . . 11
7059, 60, 69mulassd 9640 . . . . . . . . . 10
7170adantr 465 . . . . . . . . 9
72 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
7372adantl 466 . . . . . . . . . . 11
7473oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
7574adantr 465 . . . . . . . . 9
7671, 75eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
7756, 58, 763eqtrd 2502 . . . . . . 7
7877exp31 604 . . . . . 6
7978com12 31 . . . . 5
8079a2d 26 . . . 4
8129, 34, 39, 44, 52, 80uzind4 11168 . . 3
8281impcom 430 . 2
831, 7, 8, 14, 16, 24, 82climmulc2 13459 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307
This theorem is referenced by:  ntrivcvg  13706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator