MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcau Unicode version

Theorem climcau 13493
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1
Assertion
Ref Expression
climcau
Distinct variable groups:   , , ,   ,M, ,   , , ,

Proof of Theorem climcau
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5204 . . . 4
21ibi 241 . . 3
3 df-br 4453 . . . . 5
4 climcau.1 . . . . . . . . 9
5 simpll 753 . . . . . . . . 9
6 rphalfcl 11273 . . . . . . . . . 10
76adantl 466 . . . . . . . . 9
8 eqidd 2458 . . . . . . . . 9
9 simplr 755 . . . . . . . . 9
104, 5, 7, 8, 9climi 13333 . . . . . . . 8
11 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
12 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1413, 4eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11
16 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
1816oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
2019breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
2117, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
2221rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
2315, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
24 rpre 11255 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
26 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12
27 climcl 13322 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11
29 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3431, 30abssubd 13284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3634, 35eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 13292 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
3938ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . 13
4039ex 434 . . . . . . . . . . . 12
4140com23 78 . . . . . . . . . . 11
4225, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4323, 42mpdd 40 . . . . . . . . 9
4443reximdva 2932 . . . . . . . 8
4510, 44mpd 15 . . . . . . 7
4645ralrimiva 2871 . . . . . 6
4746ex 434 . . . . 5
483, 47syl5bir 218 . . . 4
4948exlimdv 1724 . . 3
502, 49syl5 32 . 2
5150imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  climbdd  13494  caucvgb  13502  cvgcmp  13630  cvgcmpce  13632  mbflimlem  22074  mtest  22799  ioodvbdlimc1lem1  31728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator