Theorem climcnds 13663

Description: The Cauchy condensation test. If () is a decreasing sequence of nonnegative terms, then sum_e.() converges iff sum_e.2(2) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcnds.1
climcnds.2
climcnds.3
climcnds.4

Assertion

Ref	Expression
climcnds

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem climcnds

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11145	. . . . 5
2		1zzd 10920	. . . . 5
3		1zzd 10920	. . . . . . 7
4		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
5		climcnds.4	. . . . . . . . 9
6		2nn 10718	. . . . . . . . . . . 12
7		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
8		nnexpcl 12179	. . . . . . . . . . . 12
9	6, 7, 8	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
10	9	nnred 10576	. . . . . . . . . 10
11		climcnds.1	. . . . . . . . . . . . 13
12	11	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
14		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
16	15	rspcv 3206	. . . . . . . . . . 11
17	9, 13, 16	sylc 60	. . . . . . . . . 10
18	10, 17	remulcld 9645	. . . . . . . . 9
19	5, 18	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
20	4, 19	sylan2 474	. . . . . . 7
21	1, 3, 20	serfre 12136	. . . . . 6
22	21	adantr 465	. . . . 5
23		simpr 461	. . . . . . . 8
24	23, 1	syl6eleq 2555	. . . . . . 7
25		nnz 10911	. . . . . . . . 9
26	25	adantl 466	. . . . . . . 8
27		uzid 11124	. . . . . . . 8
28		peano2uz 11163	. . . . . . . 8
29	26, 27, 28	3syl 20	. . . . . . 7
30		simpl 457	. . . . . . . 8
31		elfznn 11743	. . . . . . . 8
32	30, 31, 20	syl2an 477	. . . . . . 7
33		simpll 753	. . . . . . . 8
34		elfz1eq 11726	. . . . . . . . . 10
35	34	adantl 466	. . . . . . . . 9
36		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . 11
37		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . 10
39	38	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9
40	35, 39	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
41	9	nnnn0d 10877	. . . . . . . . . . 11
42	41	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . 10
43		climcnds.2	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
46	14	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . 12
47	46	rspcv 3206	. . . . . . . . . . 11
48	9, 45, 47	sylc 60	. . . . . . . . . 10
49	10, 17, 42, 48	mulge0d 10154	. . . . . . . . 9
50	49, 5	breqtrrd 4478	. . . . . . . 8
51	33, 40, 50	syl2anc 661	. . . . . . 7
52	24, 29, 32, 51	sermono 12139	. . . . . 6
53	52	adantlr 714	. . . . 5
54		2re 10630	. . . . . . 7
55		eqidd 2458	. . . . . . . 8
56	11	adantlr 714	. . . . . . . 8
57		simpr 461	. . . . . . . 8
58	1, 2, 55, 56, 57	isumrecl 13580	. . . . . . 7
59		remulcl 9598	. . . . . . 7
60	54, 58, 59	sylancr 663	. . . . . 6
61	22	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
62	1, 3, 11	serfre 12136	. . . . . . . . . . 11
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
64	36	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
65		nnexpcl 12179	. . . . . . . . . . 11
66	6, 64, 65	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
67	63, 66	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9
68		remulcl 9598	. . . . . . . . 9
69	54, 67, 68	sylancr 663	. . . . . . . 8
70	60	adantr 465	. . . . . . . 8
71		climcnds.3	. . . . . . . . . 10
72	11, 43, 71, 5	climcndslem2 13662	. . . . . . . . 9
73	72	adantlr 714	. . . . . . . 8
74		eqidd 2458	. . . . . . . . . . 11
75	66, 1	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11
76		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12
77		elfznn 11743	. . . . . . . . . . . 12
78	11	recnd 9643	. . . . . . . . . . . 12
79	76, 77, 78	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
80	74, 75, 79	fsumser 13552	. . . . . . . . . 10
81		1zzd 10920	. . . . . . . . . . 11
82		fzfid 12083	. . . . . . . . . . 11
83	77	ssriv 3507	. . . . . . . . . . . 12
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
85		eqidd 2458	. . . . . . . . . . 11
86	56	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
87	76, 43	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
88		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
89	1, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88	isumless 13657	. . . . . . . . . 10
90	80, 89	eqbrtrrd 4474	. . . . . . . . 9
91	58	adantr 465	. . . . . . . . . 10
92	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10
93		2pos 10652	. . . . . . . . . . 11
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . 10
95		lemul2 10420	. . . . . . . . . 10
96	67, 91, 92, 94, 95	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9
97	90, 96	mpbid 210	. . . . . . . 8
98	61, 69, 70, 73, 97	letrd 9760	. . . . . . 7
99	98	ralrimiva 2871	. . . . . 6
100		breq2 4456	. . . . . . . 8
101	100	ralbidv 2896	. . . . . . 7
102	101	rspcev 3210	. . . . . 6
103	60, 99, 102	syl2anc 661	. . . . 5
104	1, 2, 22, 53, 103	climsup 13492	. . . 4
105		climrel 13315	. . . . 5
106	105	releldmi 5244	. . . 4
107	104, 106	syl 16	. . 3
108		nn0uz 11144	. . . . 5
109		1nn0 10836	. . . . . 6
110	109	a1i 11	. . . . 5
111	19	recnd 9643	. . . . 5
112	108, 110, 111	iserex 13479	. . . 4
113	112	biimpar 485	. . 3
114	107, 113	syldan 470	. 2
115		1zzd 10920	. . . 4
116	62	adantr 465	. . . 4
117		elfznn 11743	. . . . . . 7
118	30, 117, 11	syl2an 477	. . . . . 6
119		simpll 753	. . . . . . 7
120		peano2nn 10573	. . . . . . . . 9
121	120	adantl 466	. . . . . . . 8
122		elfz1eq 11726	. . . . . . . 8
123		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
124	123	biimparc 487	. . . . . . . 8
125	121, 122, 124	syl2an 477	. . . . . . 7
126	119, 125, 43	syl2anc 661	. . . . . 6
127	24, 29, 118, 126	sermono 12139	. . . . 5
128	127	adantlr 714	. . . 4
129		0zd 10901	. . . . . 6
130		eqidd 2458	. . . . . 6
131	19	adantlr 714	. . . . . 6
132		simpr 461	. . . . . 6
133	108, 129, 130, 131, 132	isumrecl 13580	. . . . 5
134	116	ffvelrnda 6031	. . . . . . 7
135		0zd 10901	. . . . . . . . . 10
136	108, 135, 19	serfre 12136	. . . . . . . . 9
137	136	adantr 465	. . . . . . . 8
138		ffvelrn 6029	. . . . . . . 8
139	137, 36, 138	syl2an 477	. . . . . . 7
140	133	adantr 465	. . . . . . 7
141	116	adantr 465	. . . . . . . . 9
142		simpr 461	. . . . . . . . . 10
143	25	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
144	38	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
145	144	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . 13
146		nnexpcl 12179	. . . . . . . . . . . . . . 15
147	6, 144, 146	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14
148	147	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . 13
149		2z 10921	. . . . . . . . . . . . . . 15
150		uzid 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
152		bernneq3 12294	. . . . . . . . . . . . . 14
153	151, 144, 152	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13
154	145, 148, 153	ltled 9754	. . . . . . . . . . . 12
155	143	peano2zd 10997	. . . . . . . . . . . . 13
156	147	nnzd 10993	. . . . . . . . . . . . 13
157		eluz 11123	. . . . . . . . . . . . 13
158	155, 156, 157	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
159	154, 158	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
160		eluzp1m1 11133	. . . . . . . . . . 11
161	143, 159, 160	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
162		eluznn 11181	. . . . . . . . . 10
163	142, 161, 162	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
164	141, 163	ffvelrnd 6032	. . . . . . . 8
165	24	adantlr 714	. . . . . . . . 9
166		simpll 753	. . . . . . . . . 10
167		elfznn 11743	. . . . . . . . . 10
168	166, 167, 11	syl2an 477	. . . . . . . . 9
169	166	adantr 465	. . . . . . . . . 10
170	120	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
171		elfzuz 11713	. . . . . . . . . . 11
172		eluznn 11181	. . . . . . . . . . 11
173	170, 171, 172	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
174	169, 173, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
175	165, 161, 168, 174	sermono 12139	. . . . . . . 8
176	36	adantl 466	. . . . . . . . 9
177	11, 43, 71, 5	climcndslem1 13661	. . . . . . . . 9
178	166, 176, 177	syl2anc 661	. . . . . . . 8
179	134, 164, 139, 175, 178	letrd 9760	. . . . . . 7
180		eqidd 2458	. . . . . . . . 9
181	176, 108	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
182		elfznn0 11800	. . . . . . . . . 10
183	166, 182, 111	syl2an 477	. . . . . . . . 9
184	180, 181, 183	fsumser 13552	. . . . . . . 8
185		0zd 10901	. . . . . . . . 9
186		fzfid 12083	. . . . . . . . 9
187	182	ssriv 3507	. . . . . . . . . 10
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9
189		eqidd 2458	. . . . . . . . 9
190	166, 19	sylan 471	. . . . . . . . 9
191	166, 50	sylan 471	. . . . . . . . 9
192		simplr 755	. . . . . . . . 9
193	108, 185, 186, 188, 189, 190, 191, 192	isumless 13657	. . . . . . . 8
194	184, 193	eqbrtrrd 4474	. . . . . . 7
195	134, 139, 140, 179, 194	letrd 9760	. . . . . 6
196	195	ralrimiva 2871	. . . . 5
197		breq2 4456	. . . . . . 7
198	197	ralbidv 2896	. . . . . 6
199	198	rspcev 3210	. . . . 5
200	133, 196, 199	syl2anc 661	. . . 4
201	1, 115, 116, 128, 200	climsup 13492	. . 3
202	105	releldmi 5244	. . 3
203	201, 202	syl 16	. 2
204	114, 203	impbida 832	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cexp 12166  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  harmonic  13670  zetacvg  28557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509