MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climconst Unicode version

Theorem climconst 13107
Description: An (eventually) constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst.1
climconst.2
climconst.3
climconst.4
climconst.5
Assertion
Ref Expression
climconst
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem climconst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climconst.2 . . . . . . 7
2 uzid 10960 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 climconst.1 . . . . . 6
53, 4syl6eleqr 2547 . . . . 5
65adantr 465 . . . 4
7 climconst.4 . . . . . . . . . 10
87subidd 9792 . . . . . . . . 9
98fveq2d 5777 . . . . . . . 8
10 abs0 12860 . . . . . . . 8
119, 10syl6eq 2506 . . . . . . 7
1211adantr 465 . . . . . 6
13 rpgt0 11087 . . . . . . 7
1413adantl 466 . . . . . 6
1512, 14eqbrtrd 4394 . . . . 5
1615ralrimivw 2880 . . . 4
17 fveq2 5773 . . . . . . 7
1817, 4syl6eqr 2508 . . . . . 6
1918raleqdv 3003 . . . . 5
2019rspcev 3153 . . . 4
216, 16, 20syl2anc 661 . . 3
2221ralrimiva 2879 . 2
23 climconst.3 . . 3
24 climconst.5 . . 3
257adantr 465 . . 3
264, 1, 23, 24, 7, 25clim2c 13069 . 2
2722, 26mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  A.wral 2792  E.wrex 2793   class class class wbr 4374  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cc 9365  0cc0 9367   clt 9503   cmin 9680   cz 10731   cuz 10946   crp 11076   cabs 12809   cli 13048
This theorem is referenced by:  climconst2  13112  fsumcvg  13275  expcnv  13412  ntrivcvgfvn0  27532  fprodcvg  27561  fprodntriv  27573  faclim2  27672  clim1fr1  29896  climneg  29905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-er 7185  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-div 10079  df-nn 10408  df-2 10465  df-n0 10665  df-z 10732  df-uz 10947  df-rp 11077  df-seq 11892  df-exp 11951  df-cj 12674  df-re 12675  df-im 12676  df-sqr 12810  df-abs 12811  df-clim 13052
  Copyright terms: Public domain W3C validator