MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Unicode version

Theorem climfsum 13223
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that ( ) is a collection of functions with implicit parameter , each of which converges to B( ) as . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1
climfsum.2
climfsum.3
climfsum.5
climfsum.6
climfsum.7
climfsum.8
Assertion
Ref Expression
climfsum
Distinct variable groups:   , ,   ,   , ,   , ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4
21mpteq2dva 4353 . . 3
3 climfsum.1 . . . . . . . 8
4 uzssz 10825 . . . . . . . 8
53, 4eqsstri 3363 . . . . . . 7
6 zssre 10598 . . . . . . 7
75, 6sstri 3342 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 climfsum.3 . . . . 5
10 fvex 5671 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 climfsum.5 . . . . . . 7
13 climfsum.2 . . . . . . . . 9
1413adantr 455 . . . . . . . 8
15 climrel 12911 . . . . . . . . . 10
1615brrelexi 4850 . . . . . . . . 9
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 eqid 2422 . . . . . . . . 9
193, 18climmpt 12990 . . . . . . . 8
2014, 17, 19syl2anc 646 . . . . . . 7
2112, 20mpbid 204 . . . . . 6
22 climfsum.7 . . . . . . . . 9
2322anassrs 633 . . . . . . . 8
2423, 18fmptd 5837 . . . . . . 7
253, 14, 24rlimclim 12965 . . . . . 6
2621, 25mpbird 226 . . . . 5
278, 9, 11, 26fsumrlim 13214 . . . 4
289adantr 455 . . . . . . 7
2922anass1rs 790 . . . . . . 7
3028, 29fsumcl 13151 . . . . . 6
31 eqid 2422 . . . . . 6
3230, 31fmptd 5837 . . . . 5
333, 13, 32rlimclim 12965 . . . 4
3427, 33mpbid 204 . . 3
352, 34eqbrtrd 4287 . 2
36 climfsum.6 . . 3
37 eqid 2422 . . . 4
383, 37climmpt 12990 . . 3
3913, 36, 38syl2anc 646 . 2
4035, 39mpbird 226 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  C_wss 3305   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  `cfv 5390   cfn 7269   cc 9226   cr 9227   cz 10591   cuz 10806   cli 12903   crli 12904  sum_csu 13104
This theorem is referenced by:  itg1climres  20892  plyeq0lem  21419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105
  Copyright terms: Public domain W3C validator