Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Unicode version

Theorem climfsum 13634
 Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that ( ) is a collection of functions with implicit parameter , each of which converges to ( ) as . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1
climfsum.2
climfsum.3
climfsum.5
climfsum.6
climfsum.7
climfsum.8
Assertion
Ref Expression
climfsum
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4
21mpteq2dva 4538 . . 3
3 climfsum.1 . . . . . . . 8
4 uzssz 11129 . . . . . . . 8
53, 4eqsstri 3533 . . . . . . 7
6 zssre 10896 . . . . . . 7
75, 6sstri 3512 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 climfsum.3 . . . . 5
10 fvex 5881 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 climfsum.5 . . . . . . 7
13 climfsum.2 . . . . . . . . 9
1413adantr 465 . . . . . . . 8
15 climrel 13315 . . . . . . . . . 10
1615brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 eqid 2457 . . . . . . . . 9
193, 18climmpt 13394 . . . . . . . 8
2014, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . 7
2112, 20mpbid 210 . . . . . 6
22 climfsum.7 . . . . . . . . 9
2322anassrs 648 . . . . . . . 8
2423, 18fmptd 6055 . . . . . . 7
253, 14, 24rlimclim 13369 . . . . . 6
2621, 25mpbird 232 . . . . 5
278, 9, 11, 26fsumrlim 13625 . . . 4
289adantr 465 . . . . . . 7
2922anass1rs 807 . . . . . . 7
3028, 29fsumcl 13555 . . . . . 6
31 eqid 2457 . . . . . 6
3230, 31fmptd 6055 . . . . 5
333, 13, 32rlimclim 13369 . . . 4
3427, 33mpbid 210 . . 3
352, 34eqbrtrd 4472 . 2
36 climfsum.6 . . 3
37 eqid 2457 . . . 4
383, 37climmpt 13394 . . 3
3913, 36, 38syl2anc 661 . 2
4035, 39mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cfv 5593   cfn 7536   cc 9511   cr 9512   cz 10889   cuz 11110   cli 13307   crli 13308  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  itg1climres  22121  plyeq0lem  22607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator