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Theorem climrlim2 13370
 Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1
climrlim2.2
climrlim2.3
climrlim2.4
climrlim2.5
climrlim2.6
climrlim2.7
Assertion
Ref Expression
climrlim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2
2 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42, 3eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87flcld 11935 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
109ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
11 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 flge 11942 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 5, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
1611, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
17 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . 14
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 20, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30 flge 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
317, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534, 3syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4235, 38, 41sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4439, 43fvmptg 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4535, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
4948fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
5049breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
5126, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . 11
5251expr 615 . . . . . . . . . 10
5352com23 78 . . . . . . . . 9
5453ralrimdva 2875 . . . . . . . 8
55 eluzelre 11120 . . . . . . . . . 10
5655, 3eleq2s 2565 . . . . . . . . 9
5756adantl 466 . . . . . . . 8
5854, 57jctild 543 . . . . . . 7
5958expimpd 603 . . . . . 6
6059reximdv2 2928 . . . . 5
6160ralimdva 2865 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfl 11927   cabs 13067   cli 13307   crli 13308 This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  23702 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929  df-clim 13311  df-rlim 13312