Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshftlem Unicode version

Theorem climshftlem 13397
 Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1
Assertion
Ref Expression
climshftlem

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 10929 . . . . . . 7
21ancoms 453 . . . . . 6
3 eluzsub 11139 . . . . . . . . . . 11
433com12 1200 . . . . . . . . . 10
543expa 1196 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
76eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
86oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
98fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
117, 10anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
1211rspcv 3206 . . . . . . . . 9
135, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
15 eluzelcn 11121 . . . . . . . . . 10
16 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13
1716shftval 12907 . . . . . . . . . . . 12
1817eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1917oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
2120breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
2314, 15, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9
2423adantlr 714 . . . . . . . 8
2513, 24sylibrd 234 . . . . . . 7
2625ralrimdva 2875 . . . . . 6
27 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2827raleqdv 3060 . . . . . . 7
2928rspcev 3210 . . . . . 6
302, 26, 29syl6an 545 . . . . 5
3130rexlimdva 2949 . . . 4
3231ralimdv 2867 . . 3
3332anim2d 565 . 2
3416a1i 11 . . 3
35 eqidd 2458 . . 3
3634, 35clim 13317 . 2
37 ovex 6324 . . . 4
3837a1i 11 . . 3
39 eqidd 2458 . . 3
4038, 39clim 13317 . 2
4133, 36, 403imtr4d 268 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cshi 12899   cabs 13067   cli 13307 This theorem is referenced by:  climshft  13399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-shft 12900  df-clim 13311
 Copyright terms: Public domain W3C validator