Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsqz Unicode version

Theorem climsqz 13463
 Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsqz.5
climsqz.6
climsqz.7
climsqz.8
climsqz.9
Assertion
Ref Expression
climsqz
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M   ,

Proof of Theorem climsqz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5
2 climadd.2 . . . . . 6
32adantr 465 . . . . 5
4 simpr 461 . . . . 5
5 eqidd 2458 . . . . 5
6 climadd.4 . . . . . 6
76adantr 465 . . . . 5
81, 3, 4, 5, 7climi2 13334 . . . 4
91uztrn2 11127 . . . . . . . 8
10 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12
11 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12
121, 2, 6, 10climrecl 13406 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
14 climsqz.8 . . . . . . . . . . . 12
1510, 11, 13, 14lesub2dd 10194 . . . . . . . . . . 11
16 climsqz.9 . . . . . . . . . . . 12
1711, 13, 16abssuble0d 13264 . . . . . . . . . . 11
1810, 11, 13, 14, 16letrd 9760 . . . . . . . . . . . 12
1910, 13, 18abssuble0d 13264 . . . . . . . . . . 11
2015, 17, 193brtr4d 4482 . . . . . . . . . 10
2120adantlr 714 . . . . . . . . 9
2211adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
2312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23resubcld 10012 . . . . . . . . . . . 12
2524recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
2625abscld 13267 . . . . . . . . . 10
2710adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 23resubcld 10012 . . . . . . . . . . . 12
2928recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
3029abscld 13267 . . . . . . . . . 10
31 rpre 11255 . . . . . . . . . . 11
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
33 lelttr 9696 . . . . . . . . . 10
3426, 30, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3521, 34mpand 675 . . . . . . . 8
369, 35sylan2 474 . . . . . . 7
3736anassrs 648 . . . . . 6
3837ralimdva 2865 . . . . 5
3938reximdva 2932 . . . 4
408, 39mpd 15 . . 3
4140ralrimiva 2871 . 2
42 climsqz.5 . . 3
43 eqidd 2458 . . 3
4412recnd 9643 . . 3
4511recnd 9643 . . 3
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 13328 . 2
4741, 46mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cabs 13067   cli 13307 This theorem is referenced by:  supcvg  13667  mbfi1fseqlem6  22127  sinccvglem  29038  hashnzfzclim  31227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator