Theorem climsqz2 13464

Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1
climadd.2
climadd.4
climsqz.5
climsqz.6
climsqz.7
climsqz2.8
climsqz2.9

Assertion

Ref	Expression
climsqz2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M   ,

Proof of Theorem climsqz2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . . . 5
2		climadd.2	. . . . . 6
3	2	adantr 465	. . . . 5
4		simpr 461	. . . . 5
5		eqidd 2458	. . . . 5
6		climadd.4	. . . . . 6
7	6	adantr 465	. . . . 5
8	1, 3, 4, 5, 7	climi2 13334	. . . 4
9	1	uztrn2 11127	. . . . . . . 8
10		climsqz.7	. . . . . . . . . . . 12
11		climsqz.6	. . . . . . . . . . . 12
12	1, 2, 6, 11	climrecl 13406	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
14		climsqz2.8	. . . . . . . . . . . 12
15	10, 11, 13, 14	lesub1dd 10193	. . . . . . . . . . 11
16		climsqz2.9	. . . . . . . . . . . 12
17	13, 10, 16	abssubge0d 13263	. . . . . . . . . . 11
18	13, 10, 11, 16, 14	letrd 9760	. . . . . . . . . . . 12
19	13, 11, 18	abssubge0d 13263	. . . . . . . . . . 11
20	15, 17, 19	3brtr4d 4482	. . . . . . . . . 10
21	20	adantlr 714	. . . . . . . . 9
22	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13
23	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . 12
25	24	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
26	25	abscld 13267	. . . . . . . . . 10
27	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13
28	27, 23	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . 12
29	28	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
30	29	abscld 13267	. . . . . . . . . 10
31		rpre 11255	. . . . . . . . . . 11
32	31	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10
33		lelttr 9696	. . . . . . . . . 10
34	26, 30, 32, 33	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
35	21, 34	mpand 675	. . . . . . . 8
36	9, 35	sylan2 474	. . . . . . 7
37	36	anassrs 648	. . . . . 6
38	37	ralimdva 2865	. . . . 5
39	38	reximdva 2932	. . . 4
40	8, 39	mpd 15	. . 3
41	40	ralrimiva 2871	. 2
42		climsqz.5	. . 3
43		eqidd 2458	. . 3
44	12	recnd 9643	. . 3
45	10	recnd 9643	. . 3
46	1, 2, 42, 43, 44, 45	clim2c 13328	. 2
47	41, 46	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cabs 13067  cli 13307

This theorem is referenced by:  expcnv  13675  explecnv  13676  plyeq0lem  22607  leibpi  23273  emcllem4  23328  basellem6  23359  basellem9  23362  lgamcvg2  28597  wallispilem5  31851  stirlinglem1  31856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312