MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climuni Unicode version

Theorem climuni 13375
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni

Proof of Theorem climuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10919 . 2
2 nnuz 11145 . . . . . . 7
3 1zzd 10920 . . . . . . 7
4 climcl 13322 . . . . . . . . . . 11
543ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
6 climcl 13322 . . . . . . . . . . 11
763ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
85, 7subcld 9954 . . . . . . . . 9
9 simp3 998 . . . . . . . . . 10
105, 7, 9subne0d 9963 . . . . . . . . 9
118, 10absrpcld 13279 . . . . . . . 8
1211rphalfcld 11297 . . . . . . 7
13 eqidd 2458 . . . . . . 7
14 simp1 996 . . . . . . 7
152, 3, 12, 13, 14climi 13333 . . . . . 6
16 simp2 997 . . . . . . 7
172, 3, 12, 13, 16climi 13333 . . . . . 6
182rexanuz2 13182 . . . . . 6
1915, 17, 18sylanbrc 664 . . . . 5
20 nnz 10911 . . . . . . . . 9
21 uzid 11124 . . . . . . . . 9
22 ne0i 3790 . . . . . . . . 9
23 r19.2z 3918 . . . . . . . . . 10
2423ex 434 . . . . . . . . 9
2520, 21, 22, 244syl 21 . . . . . . . 8
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27abssubd 13284 . . . . . . . . . . . . . 14
2928breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
30 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3332abscld 13267 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 abs3lem 13171 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3527, 30, 26, 33, 34syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633ltnrd 9740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15
3835, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14
3938expd 436 . . . . . . . . . . . . 13
4029, 39sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12
4140impr 619 . . . . . . . . . . 11
4241adantld 467 . . . . . . . . . 10
4342expimpd 603 . . . . . . . . 9
4443rexlimdvw 2952 . . . . . . . 8
4525, 44sylan9r 658 . . . . . . 7
4645rexlimdva 2949 . . . . . 6
475, 7, 46syl2anc 661 . . . . 5
4819, 47mpd 15 . . . 4
49483expia 1198 . . 3
5049necon4ad 2677 . 2
511, 50mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  fclim  13376  climeu  13378  summolem2  13538  summo  13539  prodmolem2  13742  prodmo  13743  ef0  13826  efcj  13827  efaddlem  13828  ioombl1lem4  21971  mbflimlem  22074  itg2i1fseq  22162  itg2addlem  22165  plyeq0lem  22607  ulmuni  22787  leibpi  23273  lgamp1  28599  lgam1  28606  sumnnodd  31636  stirlinglem15  31870  fouriersw  32014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator