MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Unicode version

Theorem cncmet 20933
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1
Assertion
Ref Expression
cncmet

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . 5
21cnfldtopn 20461 . . . 4
3 cncmet.1 . . . . 5
43fveq2i 5776 . . . 4
52, 4eqtr4i 2481 . . 3
6 cnmet 20451 . . . . 5
73, 6eqeltri 2532 . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 1rp 11080 . . . 4
109a1i 11 . . 3
111cnfldtop 20463 . . . . . 6
12 metxmet 20009 . . . . . . . 8
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7
14 rpxr 11083 . . . . . . . 8
159, 14ax-mp 5 . . . . . . 7
16 blssm 20093 . . . . . . 7
1713, 15, 16mp3an13 1306 . . . . . 6
181cnfldtopon 20462 . . . . . . . 8
1918toponunii 18637 . . . . . . 7
2019clscld 18751 . . . . . 6
2111, 17, 20sylancr 663 . . . . 5
22 abscl 12853 . . . . . . 7
23 peano2re 9627 . . . . . . 7
2422, 23syl 16 . . . . . 6
25 df-rab 2801 . . . . . . . . . . 11
2625eqcomi 2462 . . . . . . . . . 10
275, 26blcls 20181 . . . . . . . . 9
2813, 15, 27mp3an13 1306 . . . . . . . 8
29 abscl 12853 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
3122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31resubcld 9861 . . . . . . . . . . . 12
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
35 subcl 9694 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 34, 35syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13
3736abscld 13008 . . . . . . . . . . . 12
38 1red 9486 . . . . . . . . . . . 12
39 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
40 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40abs2difd 13029 . . . . . . . . . . . 12
423cnmetdval 20450 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 abssub 12900 . . . . . . . . . . . . . . 15
4442, 43eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46eqbrtrrd 4396 . . . . . . . . . . . 12
4832, 37, 38, 41, 47letrd 9613 . . . . . . . . . . 11
4930, 31, 38lesubadd2d 10023 . . . . . . . . . . 11
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . . 10
5150ex 434 . . . . . . . . 9
5251ss2abdv 3507 . . . . . . . 8
5328, 52sstrd 3448 . . . . . . 7
54 ssabral 3505 . . . . . . 7
5553, 54sylib 196 . . . . . 6
56 breq2 4378 . . . . . . . 8
5756ralbidv 2808 . . . . . . 7
5857rspcev 3153 . . . . . 6
5924, 55, 58syl2anc 661 . . . . 5
6019clsss3 18763 . . . . . . 7
6111, 17, 60sylancr 663 . . . . . 6
62 eqid 2450 . . . . . . 7
631, 62cnheibor 20627 . . . . . 6
6461, 63syl 16 . . . . 5
6521, 59, 64mpbir2and 913 . . . 4
6665adantl 466 . . 3
675, 8, 10, 66relcmpcmet 20927 . 2
6867trud 1379 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370   wtru 1371  e.wcel 1757  {cab 2435  A.wral 2792  E.wrex 2793  {crab 2796  C_wss 3410   class class class wbr 4374  o.ccom 4926  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cc 9365   cr 9366  1c1 9368   caddc 9370   cxr 9502   cle 9504   cmin 9680   crp 11076   cabs 12809   crest 14445   ctopn 14446   cxmt 17894   cme 17895   cbl 17896   cmopn 17899   ccnfld 17911   ctop 18598   ccld 18720   ccl 18722   ccmp 19089   cms 20865
This theorem is referenced by:  recmet  20934  cncms  20967  cnbn  24389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-inf2 7932  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444  ax-pre-sup 9445  ax-addf 9446  ax-mulf 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-iin 4256  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-se 4762  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-isom 5509  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-of 6404  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-supp 6775  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-2o 7005  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-ixp 7348  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-fsupp 7706  df-fi 7746  df-sup 7776  df-oi 7809  df-card 8194  df-cda 8422  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-div 10079  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-4 10467  df-5 10468  df-6 10469  df-7 10470  df-8 10471  df-9 10472  df-10 10473  df-n0 10665  df-z 10732  df-dec 10841  df-uz 10947  df-q 11039  df-rp 11077  df-xneg 11174  df-xadd 11175  df-xmul 11176  df-ioo 11389  df-ico 11391  df-icc 11392  df-fz 11523  df-fzo 11634  df-seq 11892  df-exp 11951  df-hash 12189  df-cj 12674  df-re 12675  df-im 12676  df-sqr 12810  df-abs 12811  df-struct 14262  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-sets 14266  df-ress 14267  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-starv 14339  df-sca 14340  df-vsca 14341  df-ip 14342  df-tset 14343  df-ple 14344  df-ds 14346  df-unif 14347  df-hom 14348  df-cco 14349  df-rest 14447  df-topn 14448  df-0g 14466  df-gsum 14467  df-topgen 14468  df-pt 14469  df-prds 14472  df-xrs 14526  df-qtop 14531  df-imas 14532  df-xps 14534  df-mre 14610  df-mrc 14611  df-acs 14613  df-mnd 15501  df-submnd 15551  df-mulg 15634  df-cntz 15921  df-cmn 16367  df-psmet 17902  df-xmet 17903  df-met 17904  df-bl 17905  df-mopn 17906  df-fbas 17907  df-fg 17908  df-cnfld 17912  df-top 18603  df-bases 18605  df-topon 18606  df-topsp 18607  df-cld 18723  df-ntr 18724  df-cls 18725  df-nei 18802  df-cn 18931  df-cnp 18932  df-haus 19019  df-cmp 19090  df-tx 19235  df-hmeo 19428  df-fil 19519  df-flim 19612  df-fcls 19614  df-xms 19995  df-ms 19996  df-tms 19997  df-cncf 20554  df-cfil 20866  df-cmet 20868
  Copyright terms: Public domain W3C validator