Theorem cnegex 9782

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 9613	. 2
2		ax-rnegex 9584	. . . . . . 7
3		ax-rnegex 9584	. . . . . . 7
4	2, 3	anim12i 566	. . . . . 6
5		reeanv 3025	. . . . . 6
6	4, 5	sylibr 212	. . . . 5
7		ax-icn 9572	. . . . . . . . . . 11
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10
9		simplrr 762	. . . . . . . . . . 11
10	9	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
11	8, 10	mulcld 9637	. . . . . . . . 9
12		simplrl 761	. . . . . . . . . 10
13	12	recnd 9643	. . . . . . . . 9
14	11, 13	addcld 9636	. . . . . . . 8
15		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . 13
17		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . 14
19	8, 18	mulcld 9637	. . . . . . . . . . . . 13
20	16, 19, 11	addassd 9639	. . . . . . . . . . . 12
21	8, 18, 10	adddid 9641	. . . . . . . . . . . . . 14
22		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		mul01 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	7, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	23, 25	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . 14
27	21, 26	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
29		addid1 9781	. . . . . . . . . . . . 13
30	16, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
31	20, 28, 30	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . 11
32	31	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
33	16, 19	addcld 9636	. . . . . . . . . . 11
34	33, 11, 13	addassd 9639	. . . . . . . . . 10
35	32, 34	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9
36		simprl 756	. . . . . . . . 9
37	35, 36	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
38		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
39	38	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
40	39	rspcev 3210	. . . . . . . 8
41	14, 37, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7
42	41	ex 434	. . . . . 6
43	42	rexlimdvva 2956	. . . . 5
44	6, 43	mpd 15	. . . 4
45		oveq1 6303	. . . . . 6
46	45	eqeq1d 2459	. . . . 5
47	46	rexbidv 2968	. . . 4
48	44, 47	syl5ibrcom 222	. . 3
49	48	rexlimivv 2954	. 2
50	1, 49	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  ci 9515  caddc 9516  cmul 9518

This theorem is referenced by:  addid2  9784  addcan2  9786  0cnALT  9832  negeu  9833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654