MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2 Unicode version

Theorem cnfcom2 8167
Description: Any nonzero ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f
cnfcom.g
cnfcom.h
cnfcom.t
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom2.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2
Distinct variable groups:   , , ,   ,M   , , , ,   ,   ,   , , , ,   , ,   S, ,   , , ,

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5
2 cnfcom.a . . . . 5
3 cnfcom.b . . . . 5
4 cnfcom.f . . . . 5
5 cnfcom.g . . . . 5
6 cnfcom.h . . . . 5
7 cnfcom.t . . . . 5
8 cnfcom.m . . . . 5
9 cnfcom.k . . . . 5
10 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
115oion 7982 . . . . . . . . . 10
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1312elexi 3119 . . . . . . . 8
1413uniex 6596 . . . . . . 7
1514sucid 4962 . . . . . 6
16 cnfcom.w . . . . . . 7
17 cnfcom2.1 . . . . . . 7
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17cnfcom2lem 8166 . . . . . 6
1915, 18syl5eleqr 2552 . . . . 5
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19cnfcom 8165 . . . 4
2116oveq2i 6307 . . . . . 6
2216fveq2i 5874 . . . . . 6
2321, 22oveq12i 6308 . . . . 5
24 f1oeq3 5814 . . . . 5
2523, 24ax-mp 5 . . . 4
2620, 25sylibr 212 . . 3
2718fveq2d 5875 . . . 4
28 f1oeq1 5812 . . . 4
2927, 28syl 16 . . 3
3026, 29mpbird 232 . 2
314fveq2i 5874 . . . . 5
32 omelon 8084 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
341, 33, 2cantnff1o 8158 . . . . . . . . 9
35 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
36 f1of 5821 . . . . . . . . 9
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . 8
3837, 3ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
394, 38syl5eqel 2549 . . . . . 6
408oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
4140a1i 11 . . . . . . . . 9
4241mpt2eq3ia 6362 . . . . . . . 8
43 eqid 2457 . . . . . . . 8
44 seqomeq12 7138 . . . . . . . 8
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . 7
466, 45eqtri 2486 . . . . . 6
471, 33, 2, 5, 39, 46cantnfval 8108 . . . . 5
4831, 47syl5reqr 2513 . . . 4
4918fveq2d 5875 . . . 4
50 f1ocnvfv2 6183 . . . . 5
5134, 3, 50syl2anc 661 . . . 4
5248, 49, 513eqtr3d 2506 . . 3
53 f1oeq2 5813 . . 3
5452, 53syl 16 . 2
5530, 54mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator