MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2OLD Unicode version

Theorem cnfcom2OLD 8175
Description: Any nonzero ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom2 8167 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f
cnfcomOLD.g
cnfcomOLD.h
cnfcomOLD.t
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.w
cnfcom2OLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2OLD
Distinct variable groups:   , , ,   ,M   , , , ,   ,   ,   , , , ,   , ,   S, ,   , , ,

Proof of Theorem cnfcom2OLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.s . . . . 5
2 cnfcomOLD.a . . . . 5
3 cnfcomOLD.b . . . . 5
4 cnfcomOLD.f . . . . 5
5 cnfcomOLD.g . . . . 5
6 cnfcomOLD.h . . . . 5
7 cnfcomOLD.t . . . . 5
8 cnfcomOLD.m . . . . 5
9 cnfcomOLD.k . . . . 5
10 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
114, 10eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
1211cnvex 6747 . . . . . . . . . 10
13 imaexg 6737 . . . . . . . . . 10
145oion 7982 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9
1615elexi 3119 . . . . . . . 8
1716uniex 6596 . . . . . . 7
1817sucid 4962 . . . . . 6
19 cnfcomOLD.w . . . . . . 7
20 cnfcom2OLD.1 . . . . . . 7
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lemOLD 8174 . . . . . 6
2218, 21syl5eleqr 2552 . . . . 5
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcomOLD 8173 . . . 4
2419oveq2i 6307 . . . . . 6
2519fveq2i 5874 . . . . . 6
2624, 25oveq12i 6308 . . . . 5
27 f1oeq3 5814 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
2923, 28sylibr 212 . . 3
3021fveq2d 5875 . . . 4
31 f1oeq1 5812 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
3329, 32mpbird 232 . 2
344fveq2i 5874 . . . . 5
35 omelon 8084 . . . . . . 7
3635a1i 11 . . . . . 6
371, 36, 2cantnff1o 8158 . . . . . . . . 9
38 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
39 f1of 5821 . . . . . . . . 9
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8
4140, 3ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
424, 41syl5eqel 2549 . . . . . 6
438oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
4443a1i 11 . . . . . . . . 9
4544mpt2eq3ia 6362 . . . . . . . 8
46 eqid 2457 . . . . . . . 8
47 seqomeq12 7138 . . . . . . . 8
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7
496, 48eqtri 2486 . . . . . 6
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfvalOLD 8138 . . . . 5
5134, 50syl5reqr 2513 . . . 4
5221fveq2d 5875 . . . 4
53 f1ocnvfv2 6183 . . . . 5
5437, 3, 53syl2anc 661 . . . 4
5551, 52, 543eqtr3d 2506 . . 3
56 f1oeq2 5813 . . 3
5755, 56syl 16 . 2
5833, 57mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473   c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom3OLD  8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator