Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2OLD Unicode version

Theorem cnfcom2OLD 8175
 Description: Any nonzero ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom2 8167 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f
cnfcomOLD.g
cnfcomOLD.h
cnfcomOLD.t
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.w
cnfcom2OLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,M   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,,   S,,   ,,,

Proof of Theorem cnfcom2OLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.s . . . . 5
2 cnfcomOLD.a . . . . 5
3 cnfcomOLD.b . . . . 5
4 cnfcomOLD.f . . . . 5
5 cnfcomOLD.g . . . . 5
6 cnfcomOLD.h . . . . 5
7 cnfcomOLD.t . . . . 5
8 cnfcomOLD.m . . . . 5
9 cnfcomOLD.k . . . . 5
10 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
114, 10eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
1211cnvex 6747 . . . . . . . . . 10
13 imaexg 6737 . . . . . . . . . 10
145oion 7982 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9
1615elexi 3119 . . . . . . . 8
1716uniex 6596 . . . . . . 7
1817sucid 4962 . . . . . 6
19 cnfcomOLD.w . . . . . . 7
20 cnfcom2OLD.1 . . . . . . 7
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lemOLD 8174 . . . . . 6
2218, 21syl5eleqr 2552 . . . . 5
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcomOLD 8173 . . . 4
2419oveq2i 6307 . . . . . 6
2519fveq2i 5874 . . . . . 6
2624, 25oveq12i 6308 . . . . 5
27 f1oeq3 5814 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
2923, 28sylibr 212 . . 3
3021fveq2d 5875 . . . 4
31 f1oeq1 5812 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
3329, 32mpbird 232 . 2
344fveq2i 5874 . . . . 5
35 omelon 8084 . . . . . . 7
3635a1i 11 . . . . . 6
371, 36, 2cantnff1o 8158 . . . . . . . . 9
38 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
39 f1of 5821 . . . . . . . . 9
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8
4140, 3ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
424, 41syl5eqel 2549 . . . . . 6
438oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
4443a1i 11 . . . . . . . . 9
4544mpt2eq3ia 6362 . . . . . . . 8
46 eqid 2457 . . . . . . . 8
47 seqomeq12 7138 . . . . . . . 8
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7
496, 48eqtri 2486 . . . . . 6
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfvalOLD 8138 . . . . 5
5134, 50syl5reqr 2513 . . . 4
5221fveq2d 5875 . . . 4
53 f1ocnvfv2 6183 . . . . 5
5437, 3, 53syl2anc 661 . . . 4
5551, 52, 543eqtr3d 2506 . . 3
56 f1oeq2 5813 . . 3
5755, 56syl 16 . 2
5833, 57mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473   c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cnfcom3OLD  8177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator