Theorem cnfcom2lem 8166

Description: Lemma for cnfcom2 8167. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f
cnfcom.g
cnfcom.h
cnfcom.t
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom2.1

Assertion

Ref	Expression
cnfcom2lem

Distinct variable groups:   ,,,   ,M   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,,   S,,   ,,,

Proof of Theorem cnfcom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom2.1	. . . . . 6
2		n0i 3789	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . . 14
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
6		omelon 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
8		cnfcom.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9	5, 7, 8	cantnff1o 8158	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15
13		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	12, 13	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . 14
15	4, 14	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . 13
16	5, 7, 8	cantnfs 8106	. . . . . . . . . . . . 13
17	15, 16	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
18	17	simpld 459	. . . . . . . . . . 11
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . 10
20	19	feqmptd 5926	. . . . . . . . 9
21		dif0 3898	. . . . . . . . . . . 12
22	21	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . 11
23		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		suppssdm 6931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	18, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
27	24, 26	syl5sseq 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28	8, 27	ssexd 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30	5, 7, 8, 29, 15	cantnfcl 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31	30	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	29	oien 7984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	28, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	23, 34	eqbrtrrd 4474	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . . 14
37		en0 7598	. . . . . . . . . . . . . 14
38	36, 37	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
39		ss0b 3815	. . . . . . . . . . . . 13
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12
41	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
42		0ex 4582	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
44	19, 40, 41, 43	suppssr 6950	. . . . . . . . . . 11
45	22, 44	sylan2br 476	. . . . . . . . . 10
46	45	mpteq2dva 4538	. . . . . . . . 9
47	20, 46	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
48		fconstmpt 5048	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl6eqr 2516	. . . . . . 7
50	49	fveq2d 5875	. . . . . 6
51	4	fveq2i 5874	. . . . . . . 8
52		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . 9
53	9, 13, 52	syl2anc 661	. . . . . . . 8
54	51, 53	syl5eq 2510	. . . . . . 7
55	54	adantr 465	. . . . . 6
56		peano1 6719	. . . . . . . . 9
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8
58	5, 7, 8, 57	cantnf0 8115	. . . . . . 7
59	58	adantr 465	. . . . . 6
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2506	. . . . 5
61	3, 60	mtand 659	. . . 4
62	30	simprd 463	. . . . 5
63		nnlim 6713	. . . . 5
64	62, 63	syl 16	. . . 4
65		ioran 490	. . . 4
66	61, 64, 65	sylanbrc 664	. . 3
67	29	oicl 7975	. . . 4
68		unizlim 4999	. . . 4
69	67, 68	ax-mp 5	. . 3
70	66, 69	sylnibr 305	. 2
71		orduniorsuc 6665	. . . 4
72	67, 71	mp1i 12	. . 3
73	72	ord 377	. 2
74	70, 73	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  csupp 6918  seqomcseqom 7131  coa 7146  comu 7147  coe 7148  cen 7533  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cnfcom2  8167  cnfcom3lem  8168  cnfcom3  8169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100