MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2lem Unicode version

Theorem cnfcom2lem 8166
Description: Lemma for cnfcom2 8167. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f
cnfcom.g
cnfcom.h
cnfcom.t
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom2.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2lem
Distinct variable groups:   , , ,   ,M   , , , ,   ,   ,   , , , ,   , ,   S, ,   , , ,

Proof of Theorem cnfcom2lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom2.1 . . . . . 6
2 n0i 3789 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 omelon 8084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 cnfcom.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95, 7, 8cantnff1o 8158 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15
1412, 13ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . 14
154, 14syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13
165, 7, 8cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
1817simpld 459 . . . . . . . . . . 11
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10
2019feqmptd 5926 . . . . . . . . 9
21 dif0 3898 . . . . . . . . . . . 12
2221eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2724, 26syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
288, 27ssexd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
305, 7, 8, 29, 15cantnfcl 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3229oien 7984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3328, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3523, 34eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . . 14
37 en0 7598 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
39 ss0b 3815 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
418adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
42 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . 13
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4419, 40, 41, 43suppssr 6950 . . . . . . . . . . 11
4522, 44sylan2br 476 . . . . . . . . . 10
4645mpteq2dva 4538 . . . . . . . . 9
4720, 46eqtrd 2498 . . . . . . . 8
48 fconstmpt 5048 . . . . . . . 8
4947, 48syl6eqr 2516 . . . . . . 7
5049fveq2d 5875 . . . . . 6
514fveq2i 5874 . . . . . . . 8
52 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
539, 13, 52syl2anc 661 . . . . . . . 8
5451, 53syl5eq 2510 . . . . . . 7
5554adantr 465 . . . . . 6
56 peano1 6719 . . . . . . . . 9
5756a1i 11 . . . . . . . 8
585, 7, 8, 57cantnf0 8115 . . . . . . 7
5958adantr 465 . . . . . 6
6050, 55, 593eqtr3d 2506 . . . . 5
613, 60mtand 659 . . . 4
6230simprd 463 . . . . 5
63 nnlim 6713 . . . . 5
6462, 63syl 16 . . . 4
65 ioran 490 . . . 4
6661, 64, 65sylanbrc 664 . . 3
6729oicl 7975 . . . 4
68 unizlim 4999 . . . 4
6967, 68ax-mp 5 . . 3
7066, 69sylnibr 305 . 2
71 orduniorsuc 6665 . . . 4
7267, 71mp1i 12 . . 3
7372ord 377 . 2
7470, 73mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cen 7533   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom2  8167  cnfcom3lem  8168  cnfcom3  8169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator