MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Unicode version

Theorem cnfcom3 8169
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to a power of . (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 8171.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f
cnfcom.g
cnfcom.h
cnfcom.t
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom3.1
cnfcom.x
cnfcom.y
cnfcom.n
Assertion
Ref Expression
cnfcom3
Distinct variable groups:   , , ,   , , , ,   ,M   , ,   , , , , , ,   , ,   , , ,   , , ,   , , , , , ,   , , , ,   S, ,   , , ,

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 8084 . . . . . 6
2 cnfcom.a . . . . . . 7
3 suppssdm 6931 . . . . . . . . 9
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75, 6, 2cantnff1o 8158 . . . . . . . . . . . . . . 15
8 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
134, 12syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12
145, 6, 2cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10
17 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9
193, 18syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
20 cnfcom.w . . . . . . . . 9
21 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322oion 7982 . . . . . . . . . . . . . . 15
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
2524elexi 3119 . . . . . . . . . . . . 13
2625uniex 6596 . . . . . . . . . . . 12
2726sucid 4962 . . . . . . . . . . 11
28 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12
29 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12
30 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12
31 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13
33 peano1 6719 . . . . . . . . . . . . . 14
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34sseldd 3504 . . . . . . . . . . . 12
365, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2lem 8166 . . . . . . . . . . 11
3727, 36syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . 10
3822oif 7976 . . . . . . . . . . 11
3938ffvelrni 6030 . . . . . . . . . 10
4037, 39syl 16 . . . . . . . . 9
4120, 40syl5eqel 2549 . . . . . . . 8
4219, 41sseldd 3504 . . . . . . 7
43 onelon 4908 . . . . . . 7
442, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6
45 oecl 7206 . . . . . 6
461, 44, 45sylancr 663 . . . . 5
4716, 42ffvelrnd 6032 . . . . . 6
48 nnon 6706 . . . . . 6
4947, 48syl 16 . . . . 5
50 cnfcom.y . . . . . 6
51 cnfcom.x . . . . . 6
5250, 51omf1o 7640 . . . . 5
5346, 49, 52syl2anc 661 . . . 4
54 ffn 5736 . . . . . . . . . . 11
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10
56 0ex 4582 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . 10
5955, 2, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
60 simpr 461 . . . . . . . . 9
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8
6241, 61mpd 15 . . . . . . 7
63 on0eln0 4938 . . . . . . . 8
6447, 48, 633syl 20 . . . . . . 7
6562, 64mpbird 232 . . . . . 6
665, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 32cnfcom3lem 8168 . . . . . . 7
67 ondif1 7170 . . . . . . . 8
6867simprbi 464 . . . . . . 7
6966, 68syl 16 . . . . . 6
70 omabs 7315 . . . . . 6
7147, 65, 44, 69, 70syl22anc 1229 . . . . 5
72 f1oeq3 5814 . . . . 5
7371, 72syl 16 . . . 4
7453, 73mpbid 210 . . 3
755, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2 8167 . . 3
76 f1oco 5843 . . 3
7774, 75, 76syl2anc 661 . 2
78 cnfcom.n . . 3
79 f1oeq1 5812 . . 3
8078, 79ax-mp 5 . 2
8177, 80sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  8170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator