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Theorem cnfcom3lemOLD 8176
Description: Lemma for cnfcom3OLD 8177. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3lem 8168 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f
cnfcomOLD.g
cnfcomOLD.h
cnfcomOLD.t
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.w
cnfcom3OLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lemOLD
Distinct variable groups:   , , ,   ,M   , , , ,   ,   ,   , , , ,   , ,   S, ,   , , ,

Proof of Theorem cnfcom3lemOLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.w . . 3
2 cnfcomOLD.a . . . 4
3 cnvimass 5362 . . . . . 6
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . 10
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . 13
6 omelon 8084 . . . . . . . . . . . . . 14
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
85, 7, 2cantnff1o 8158 . . . . . . . . . . . 12
9 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
10 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11
12 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . 11
1311, 12ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
144, 13syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9
155, 7, 2cantnfsOLD 8136 . . . . . . . . 9
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8
1716simpld 459 . . . . . . 7
18 fdm 5740 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
203, 19syl5sseq 3551 . . . . 5
21 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
224, 21eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12
2322cnvex 6747 . . . . . . . . . . 11
24 imaexg 6737 . . . . . . . . . . 11
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . 12
2625oion 7982 . . . . . . . . . . 11
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10
2827elexi 3119 . . . . . . . . 9
2928uniex 6596 . . . . . . . 8
3029sucid 4962 . . . . . . 7
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . 8
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . 8
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . 8
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . 8
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . 9
36 peano1 6719 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
3835, 37sseldd 3504 . . . . . . . 8
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lemOLD 8174 . . . . . . 7
4030, 39syl5eleqr 2552 . . . . . 6
4125oif 7976 . . . . . . 7
4241ffvelrni 6030 . . . . . 6
4340, 42syl 16 . . . . 5
4420, 43sseldd 3504 . . . 4
45 onelon 4908 . . . 4
462, 44, 45syl2anc 661 . . 3
471, 46syl5eqel 2549 . 2
48 oecl 7206 . . . . . . 7
496, 2, 48sylancr 663 . . . . . 6
50 onelon 4908 . . . . . 6
5149, 12, 50syl2anc 661 . . . . 5
52 ontri1 4917 . . . . 5
536, 51, 52sylancr 663 . . . 4
5435, 53mpbid 210 . . 3
554fveq2i 5874 . . . . . . . 8
56 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
578, 12, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8
5855, 57syl5eq 2510 . . . . . . 7
5958adantr 465 . . . . . 6
606a1i 11 . . . . . . . 8
612adantr 465 . . . . . . . 8
6214adantr 465 . . . . . . . 8
6336a1i 11 . . . . . . . 8
64 1on 7156 . . . . . . . . 9
6564a1i 11 . . . . . . . 8
662, 20ssexd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
675, 7, 2, 25, 14cantnfclOLD 8137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6925oiiso 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 isof1o 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7673, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7876, 77sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
81 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8227, 78, 81sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 onuni 6628 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8427, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . . . . 15
8682, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
8780, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
8840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 isorel 6222 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9071, 88, 78, 89syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291epelc 4798 . . . . . . . . . . . . . . 15
931breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594epelc 4798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 95bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15
9790, 92, 963bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14
98 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10073, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
10198, 100eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
10297, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
10387, 102mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12
104 onss 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10620, 105sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . 14
109 on0eqel 5000 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
111110ord 377 . . . . . . . . . . . 12
112103, 111mt3d 125 . . . . . . . . . . 11
113 el1o 7168 . . . . . . . . . . 11
114112, 113sylibr 212 . . . . . . . . . 10
115114ex 434 . . . . . . . . 9
116115ssrdv 3509 . . . . . . . 8
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2OLD 8143 . . . . . . 7
118 oe1 7212 . . . . . . . 8
1196, 118ax-mp 5 . . . . . . 7
120117, 119syl6eleq 2555 . . . . . 6
12159, 120eqeltrrd 2546 . . . . 5
122121ex 434 . . . 4
123122necon3bd 2669 . . 3
12454, 123mpd 15 . 2
125 dif1o 7169 . 2
12647, 124, 125sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfn 7536  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom3OLD  8177  cnfcom3clemOLD  8178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
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