MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpart Unicode version

Theorem cnpart 13073
Description: The specification of restriction to the right half-plane partitions the complex plane without 0 into two disjoint pieces, which are related by a reflection about the origin (under the map x|->-ux). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpart

Proof of Theorem cnpart
StepHypRef Expression
1 df-nel 2655 . . . . . 6
2 simpr 461 . . . . . . . 8
3 0le0 10650 . . . . . . . 8
42, 3syl6eqbr 4489 . . . . . . 7
54biantrurd 508 . . . . . 6
61, 5syl5bbr 259 . . . . 5
76con1bid 330 . . . 4
8 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . . 12
9 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . . 11
11 reim0b 12952 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10
13 imre 12941 . . . . . . . . . . . . 13
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12
15 ine0 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 divrec2 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178, 15, 16mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 irec 12267 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15
2118, 20syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
22 divcan3 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15
238, 15, 22mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . 14
2421, 23eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . 13
2524fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
2614, 25eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
2726eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
2812, 27bitrd 253 . . . . . . . . 9
2928biimpar 485 . . . . . . . 8
3029adantlr 714 . . . . . . 7
31 mulne0 10216 . . . . . . . . 9
328, 15, 31mpanl12 682 . . . . . . . 8
3332adantr 465 . . . . . . 7
34 rpneg 11278 . . . . . . 7
3530, 33, 34syl2anc 661 . . . . . 6
3635con2bid 329 . . . . 5
37 df-nel 2655 . . . . 5
3836, 37syl6bbr 263 . . . 4
393, 2syl5breqr 4488 . . . . 5
4039biantrurd 508 . . . 4
417, 38, 403bitrrd 280 . . 3
4228adantr 465 . . . . . . . . . 10
4342necon3bbid 2704 . . . . . . . . 9
4443biimpar 485 . . . . . . . 8
45 rpre 11255 . . . . . . . 8
4644, 45nsyl 121 . . . . . . 7
4746, 37sylibr 212 . . . . . 6
4847biantrud 507 . . . . 5
49 simpr 461 . . . . . . 7
5049biantrud 507 . . . . . 6
51 0re 9617 . . . . . . . 8
52 recl 12943 . . . . . . . 8
53 ltlen 9707 . . . . . . . . 9
54 ltnle 9685 . . . . . . . . 9
5553, 54bitr3d 255 . . . . . . . 8
5651, 52, 55sylancr 663 . . . . . . 7
5756ad2antrr 725 . . . . . 6
5850, 57bitrd 253 . . . . 5
5948, 58bitr3d 255 . . . 4
60 renegcl 9905 . . . . . . . . . 10
6110negnegd 9945 . . . . . . . . . . . 12
6261eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
6460, 63syl5ib 219 . . . . . . . . 9
6544, 64mtod 177 . . . . . . . 8
66 rpre 11255 . . . . . . . 8
6765, 66nsyl 121 . . . . . . 7
6867, 1sylibr 212 . . . . . 6
6968biantrud 507 . . . . 5
7069notbid 294 . . . 4
7159, 70bitrd 253 . . 3
7241, 71pm2.61dane 2775 . 2
73 reneg 12958 . . . . . . 7
7473breq2d 4464 . . . . . 6
7552le0neg1d 10149 . . . . . 6
7674, 75bitr4d 256 . . . . 5
77 mulneg2 10019 . . . . . . 7
788, 77mpan 670 . . . . . 6
79 neleq1 2795 . . . . . 6
8078, 79syl 16 . . . . 5
8176, 80anbi12d 710 . . . 4
8281notbid 294 . . 3
8382adantr 465 . 2
8472, 83bitr4d 256 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   cmul 9518   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cdiv 10231   crp 11249   cre 12930   cim 12931
This theorem is referenced by:  sqrmo  13085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-rp 11250  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator