MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest Unicode version

Theorem cnprest 19292
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1
cnprest.2
Assertion
Ref Expression
cnprest

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 19246 . . 3
21a1i 11 . 2
3 cnptop2 19246 . . 3
43a1i 11 . 2
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12
65ntrss2 19060 . . . . . . . . . . 11
763ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
8 simp2l 1014 . . . . . . . . . 10
97, 8sseldd 3471 . . . . . . . . 9
10 fvres 5827 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211eqcomd 2462 . . . . . . 7
1312eleq1d 2523 . . . . . 6
14 inss1 3684 . . . . . . . . . . 11
15 imass2 5323 . . . . . . . . . . 11
16 sstr2 3477 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10
1817anim2i 569 . . . . . . . . 9
1918reximi 2931 . . . . . . . 8
20 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . . . 14
215ntropn 19052 . . . . . . . . . . . . . . 15
22213ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14
23 inopn 18911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24233com23 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15
25243expia 1190 . . . . . . . . . . . . . 14
2620, 22, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
27 elin 3653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . . . 15
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
30 sslin 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 imass2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 sstr2 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3629, 35anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13
3726, 36anim12d 563 . . . . . . . . . . . 12
38 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
39 imaeq2 5284 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039sseq1d 3497 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
4241rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12
4337, 42syl6 33 . . . . . . . . . . 11
4443expdimp 437 . . . . . . . . . 10
4544rexlimdva 2950 . . . . . . . . 9
46 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11
47 imaeq2 5284 . . . . . . . . . . . 12
4847sseq1d 3497 . . . . . . . . . . 11
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
5049cbvrexv 3057 . . . . . . . . 9
5145, 50syl6ib 226 . . . . . . . 8
5219, 51impbid2 204 . . . . . . 7
53 vex 3084 . . . . . . . . . 10
5453inex1 4550 . . . . . . . . 9
5554a1i 11 . . . . . . . 8
56 uniexg 6510 . . . . . . . . . . 11
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10
58 simp1r 1013 . . . . . . . . . . 11
5958, 5syl6sseq 3516 . . . . . . . . . 10
6057, 59ssexd 4556 . . . . . . . . 9
61 elrest 14525 . . . . . . . . 9
6220, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8
63 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10
64 elin 3653 . . . . . . . . . . . 12
6564rbaib 898 . . . . . . . . . . 11
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10
6763, 66sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
6968imaeq2d 5288 . . . . . . . . . . 11
70 inss2 3685 . . . . . . . . . . . 12
71 resima2 5261 . . . . . . . . . . . 12
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
7369, 72syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10
7473sseq1d 3497 . . . . . . . . 9
7567, 74anbi12d 710 . . . . . . . 8
7655, 62, 75rexxfr2d 4626 . . . . . . 7
7752, 76bitr4d 256 . . . . . 6
7813, 77imbi12d 320 . . . . 5
7978ralbidv 2847 . . . 4
80 simp3 990 . . . . . 6
8158, 9sseldd 3471 . . . . . 6
82 cnprest.2 . . . . . . . 8
835, 82iscnp2 19242 . . . . . . 7
8483baib 896 . . . . . 6
8520, 80, 81, 84syl3anc 1219 . . . . 5
86 simp2r 1015 . . . . . 6
8786biantrurd 508 . . . . 5
8885, 87bitr4d 256 . . . 4
895toptopon 18937 . . . . . . . 8
9020, 89sylib 196 . . . . . . 7
91 resttopon 19164 . . . . . . 7
9290, 58, 91syl2anc 661 . . . . . 6
9382toptopon 18937 . . . . . . 7
9480, 93sylib 196 . . . . . 6
95 iscnp 19240 . . . . . 6
9692, 94, 9, 95syl3anc 1219 . . . . 5
97 fssres 5699 . . . . . . 7
9886, 58, 97syl2anc 661 . . . . . 6
9998biantrurd 508 . . . . 5
10096, 99bitr4d 256 . . . 4
10179, 88, 1003bitr4d 285 . . 3
1021013expia 1190 . 2
1032, 4, 102pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442  U.cuni 4208  |`cres 4959  "cima 4960  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   crest 14518   ctop 18897   ctopon 18898   cnt 19020   ccnp 19228
This theorem is referenced by:  limcres  21761  dvcnvrelem2  21890  psercn  22291  abelth  22306  cxpcn3  22586  efrlim  22763  cvmlift2lem11  27658  cvmlift2lem12  27659  cvmlift3lem7  27670  cncfuni  30454  cncfiooicclem1  30461  dirkercncflem4  30635  fourierdlem62  30698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-fin 7448  df-fi 7797  df-rest 14520  df-topgen 14541  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-ntr 19023  df-cnp 19231
  Copyright terms: Public domain W3C validator