MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest Unicode version

Theorem cnprest 18597
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1
cnprest.2
Assertion
Ref Expression
cnprest

Proof of Theorem cnprest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 18551 . . 3
21a1i 11 . 2
3 cnptop2 18551 . . 3
43a1i 11 . 2
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12
65ntrss2 18365 . . . . . . . . . . 11
763ad2ant1 994 . . . . . . . . . 10
8 simp2l 999 . . . . . . . . . 10
97, 8sseldd 3334 . . . . . . . . 9
10 fvres 5674 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211eqcomd 2427 . . . . . . 7
1312eleq1d 2488 . . . . . 6
14 inss1 3547 . . . . . . . . . . 11
15 imass2 5176 . . . . . . . . . . 11
16 sstr2 3340 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10
1817anim2i 556 . . . . . . . . 9
1918reximi 2802 . . . . . . . 8
20 simp1l 997 . . . . . . . . . . . . . 14
215ntropn 18357 . . . . . . . . . . . . . . 15
22213ad2ant1 994 . . . . . . . . . . . . . 14
23 inopn 18216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24233com23 1178 . . . . . . . . . . . . . . 15
25243expia 1174 . . . . . . . . . . . . . 14
2620, 22, 25syl2anc 646 . . . . . . . . . . . . 13
27 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827simplbi2com 1409 . . . . . . . . . . . . . . 15
298, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
30 sslin 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
317, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 imass2 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 sstr2 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3629, 35anim12d 550 . . . . . . . . . . . . 13
3726, 36anim12d 550 . . . . . . . . . . . 12
38 eleq2 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
39 imaeq2 5137 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039sseq1d 3360 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 40anbi12d 695 . . . . . . . . . . . . 13
4241rspcev 3051 . . . . . . . . . . . 12
4337, 42syl6 32 . . . . . . . . . . 11
4443expdimp 430 . . . . . . . . . 10
4544rexlimdva 2820 . . . . . . . . 9
46 eleq2 2483 . . . . . . . . . . 11
47 imaeq2 5137 . . . . . . . . . . . 12
4847sseq1d 3360 . . . . . . . . . . 11
4946, 48anbi12d 695 . . . . . . . . . 10
5049cbvrexv 2927 . . . . . . . . 9
5145, 50syl6ib 220 . . . . . . . 8
5219, 51impbid2 198 . . . . . . 7
53 vex 2954 . . . . . . . . . 10
5453inex1 4408 . . . . . . . . 9
5554a1i 11 . . . . . . . 8
56 uniexg 6347 . . . . . . . . . . 11
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . 10
58 simp1r 998 . . . . . . . . . . 11
5958, 5syl6sseq 3379 . . . . . . . . . 10
6057, 59ssexd 4414 . . . . . . . . 9
61 elrest 14306 . . . . . . . . 9
6220, 60, 61syl2anc 646 . . . . . . . 8
63 eleq2 2483 . . . . . . . . . 10
64 elin 3516 . . . . . . . . . . . 12
6564rbaib 883 . . . . . . . . . . 11
669, 65syl 16 . . . . . . . . . 10
6763, 66sylan9bbr 685 . . . . . . . . 9
68 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
6968imaeq2d 5141 . . . . . . . . . . 11
70 inss2 3548 . . . . . . . . . . . 12
71 resima2 5115 . . . . . . . . . . . 12
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
7369, 72syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
7473sseq1d 3360 . . . . . . . . 9
7567, 74anbi12d 695 . . . . . . . 8
7655, 62, 75rexxfr2d 4481 . . . . . . 7
7752, 76bitr4d 250 . . . . . 6
7813, 77imbi12d 314 . . . . 5
7978ralbidv 2714 . . . 4
80 simp3 975 . . . . . 6
8158, 9sseldd 3334 . . . . . 6
82 cnprest.2 . . . . . . . 8
835, 82iscnp2 18547 . . . . . . 7
8483baib 881 . . . . . 6
8520, 80, 81, 84syl3anc 1203 . . . . 5
86 simp2r 1000 . . . . . 6
8786biantrurd 498 . . . . 5
8885, 87bitr4d 250 . . . 4
895toptopon 18242 . . . . . . . 8
9020, 89sylib 190 . . . . . . 7
91 resttopon 18469 . . . . . . 7
9290, 58, 91syl2anc 646 . . . . . 6
9382toptopon 18242 . . . . . . 7
9480, 93sylib 190 . . . . . 6
95 iscnp 18545 . . . . . 6
9692, 94, 9, 95syl3anc 1203 . . . . 5
97 fssres 5548 . . . . . . 7
9886, 58, 97syl2anc 646 . . . . . 6
9998biantrurd 498 . . . . 5
10096, 99bitr4d 250 . . . 4
10179, 88, 1003bitr4d 279 . . 3
1021013expia 1174 . 2
1032, 4, 102pm5.21ndd 347 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  i^icin 3304  C_wss 3305  U.cuni 4066  |`cres 4813  "cima 4814  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   crest 14299   ctop 18202   ctopon 18203   cnt 18325   ccnp 18533
This theorem is referenced by:  limcres  21061  dvcnvrelem2  21190  psercn  21632  abelth  21647  cxpcn3  21927  efrlim  22104  cvmlift2lem11  26905  cvmlift2lem12  26906  cvmlift3lem7  26917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-fin 7273  df-fi 7608  df-rest 14301  df-topgen 14322  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-ntr 18328  df-cnp 18536
  Copyright terms: Public domain W3C validator