MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnref1o Unicode version

Theorem cnref1o 11244
Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 9519), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnref1o.1 . . . . 5
2 ovex 6324 . . . . 5
31, 2fnmpt2i 6869 . . . 4
4 1st2nd2 6837 . . . . . . . . 9
54fveq2d 5875 . . . . . . . 8
6 df-ov 6299 . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2516 . . . . . . 7
8 xp1st 6830 . . . . . . . 8
9 xp2nd 6831 . . . . . . . 8
10 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
11 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
13 ovex 6324 . . . . . . . . 9
1410, 12, 1, 13ovmpt2 6438 . . . . . . . 8
158, 9, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
167, 15eqtrd 2498 . . . . . 6
178recnd 9643 . . . . . . 7
18 ax-icn 9572 . . . . . . . 8
199recnd 9643 . . . . . . . 8
20 mulcl 9597 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancr 663 . . . . . . 7
2217, 21addcld 9636 . . . . . 6
2316, 22eqeltrd 2545 . . . . 5
2423rgen 2817 . . . 4
25 ffnfv 6057 . . . 4
263, 24, 25mpbir2an 920 . . 3
278, 9jca 532 . . . . . . 7
28 xp1st 6830 . . . . . . . 8
29 xp2nd 6831 . . . . . . . 8
3028, 29jca 532 . . . . . . 7
31 cru 10553 . . . . . . 7
3227, 30, 31syl2an 477 . . . . . 6
33 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
3635oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
3734, 36oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
3833, 37eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
3938, 16vtoclga 3173 . . . . . . 7
4016, 39eqeqan12d 2480 . . . . . 6
41 1st2nd2 6837 . . . . . . . 8
424, 41eqeqan12d 2480 . . . . . . 7
43 fvex 5881 . . . . . . . 8
44 fvex 5881 . . . . . . . 8
4543, 44opth 4726 . . . . . . 7
4642, 45syl6bb 261 . . . . . 6
4732, 40, 463bitr4d 285 . . . . 5
4847biimpd 207 . . . 4
4948rgen2a 2884 . . 3
50 dff13 6166 . . 3
5126, 49, 50mpbir2an 920 . 2
52 cnre 9613 . . . . . 6
53 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
56 ovex 6324 . . . . . . . . 9
5753, 55, 1, 56ovmpt2 6438 . . . . . . . 8
5857eqeq2d 2471 . . . . . . 7
59582rexbiia 2973 . . . . . 6
6052, 59sylibr 212 . . . . 5
61 fveq2 5871 . . . . . . . 8
62 df-ov 6299 . . . . . . . 8
6361, 62syl6eqr 2516 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2471 . . . . . 6
6564rexxp 5150 . . . . 5
6660, 65sylibr 212 . . . 4
6766rgen 2817 . . 3
68 dffo3 6046 . . 3
6926, 67, 68mpbir2an 920 . 2
70 df-f1o 5600 . 2
7151, 69, 70mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035  X.cxp 5002  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799   cc 9511   cr 9512   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518
This theorem is referenced by:  cnexALT  11245  cnrecnv  12998  cpnnen  13962  cnheiborlem  21454  mbfimaopnlem  22062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator