Theorem cnviin 5549

Description: The converse of an intersection is the intersection of the converse. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
cnviin

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cnviin

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5379	. 2
2		r19.2z 3918	. . . . . 6
3	2	expcom 435	. . . . 5
4		relcnv 5379	. . . . . . 7
5		df-rel 5011	. . . . . . 7
6	4, 5	mpbi 208	. . . . . 6
7	6	a1i 11	. . . . 5
8	3, 7	mprg 2820	. . . 4
9		iinss 4381	. . . 4
10	8, 9	syl 16	. . 3
11		df-rel 5011	. . 3
12	10, 11	sylibr 212	. 2
13		opex 4716	. . . . 5
14		eliin 4336	. . . . 5
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4
16		vex 3112	. . . . 5
17		vex 3112	. . . . 5
18	16, 17	opelcnv 5189	. . . 4
19		opex 4716	. . . . . 6
20		eliin 4336	. . . . . 6
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5
22	16, 17	opelcnv 5189	. . . . . 6
23	22	ralbii 2888	. . . . 5
24	21, 23	bitri 249	. . . 4
25	15, 18, 24	3bitr4i 277	. . 3
26	25	eqrelriv 5101	. 2
27	1, 12, 26	sylancr 663	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  <.cop 4035  |^|_ciin 4331  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  Relwrel 5009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012