Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Unicode version

Theorem coefv0 21456
 Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1
Assertion
Ref Expression
coefv0

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9324 . . 3
2 coefv0.1 . . . 4
3 eqid 2422 . . . 4
42, 3coeid2 21448 . . 3
51, 4mpan2 656 . 2
6 dgrcl 21442 . . . . 5
7 nn0uz 10840 . . . . 5
86, 7syl6eleq 2512 . . . 4
9 fzss2 11442 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 elfz1eq 11406 . . . . . 6
12 fveq2 5661 . . . . . . 7
13 oveq2 6069 . . . . . . . 8
14 0exp0e1 11811 . . . . . . . 8
1513, 14syl6eq 2470 . . . . . . 7
1612, 15oveq12d 6079 . . . . . 6
1711, 16syl 16 . . . . 5
182coef3 21441 . . . . . . 7
19 0nn0 10540 . . . . . . 7
20 ffvelrn 5811 . . . . . . 7
2118, 19, 20sylancl 647 . . . . . 6
2221mulid1d 9349 . . . . 5
2317, 22sylan9eqr 2476 . . . 4
2421adantr 455 . . . 4
2523, 24eqeltrd 2496 . . 3
26 eldifn 3456 . . . . . . . 8
27 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . 12
28 elfznn0 11425 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11
30 elnn0 10527 . . . . . . . . . . 11
3129, 30sylib 190 . . . . . . . . . 10
3231ord 370 . . . . . . . . 9
33 id 21 . . . . . . . . . 10
34 0z 10602 . . . . . . . . . . 11
35 elfz3 11405 . . . . . . . . . . 11
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3733, 36syl6eqel 2510 . . . . . . . . 9
3832, 37syl6 32 . . . . . . . 8
3926, 38mt3d 120 . . . . . . 7
4039adantl 456 . . . . . 6
41400expd 11965 . . . . 5
4241oveq2d 6077 . . . 4
43 ffvelrn 5811 . . . . . 6
4418, 29, 43syl2an 467 . . . . 5
4544mul01d 9514 . . . 4
4642, 45eqtrd 2454 . . 3
47 fzfid 11736 . . 3
4810, 25, 46, 47fsumss 13143 . 2
4922, 21eqeltrd 2496 . . . 4
5016fsum1 13159 . . . 4
5134, 49, 50sylancr 648 . . 3
5251, 22eqtrd 2454 . 2
535, 48, 523eqtr2d 2460 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 361  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  \cdif 3302  C_wss 3305  -->wf 5386  cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   cmul 9233   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   cfz 11381   cexp 11806  sum_`csu 13104   cply 21393   ccoe 21395   cdgr 21396 This theorem is referenced by:  coemulc  21463  dgreq0  21473  vieta1lem2  21518  aareccl  21533  ftalem5  22155  signsply0  26655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-0p 20848  df-ply 21397  df-coe 21399  df-dgr 21400
 Copyright terms: Public domain W3C validator