Theorem compssiso 8775

Description: Complementation is an antiautomorphism on power set lattices. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a

Assertion

Ref	Expression
compssiso

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem compssiso

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 4600	. . . . 5
2	1	ralrimivw 2872	. . . 4
3		compss.a	. . . . 5
4	3	fnmpt 5712	. . . 4
5	2, 4	syl 16	. . 3
6	3	compsscnv 8772	. . . . 5
7	6	fneq1i 5680	. . . 4
8	5, 7	sylibr 212	. . 3
9		dff1o4 5829	. . 3
10	5, 8, 9	sylanbrc 664	. 2
11		elpwi 4021	. . . . . . . . 9
12	11	ad2antll 728	. . . . . . . 8
13	3	isf34lem1 8773	. . . . . . . 8
14	12, 13	syldan 470	. . . . . . 7
15		elpwi 4021	. . . . . . . . 9
16	15	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
17	3	isf34lem1 8773	. . . . . . . 8
18	16, 17	syldan 470	. . . . . . 7
19	14, 18	psseq12d 3597	. . . . . 6
20		difss 3630	. . . . . . 7
21		pssdifcom1 3913	. . . . . . 7
22	12, 20, 21	sylancl 662	. . . . . 6
23		dfss4 3731	. . . . . . . 8
24	16, 23	sylib 196	. . . . . . 7
25	24	psseq1d 3595	. . . . . 6
26	19, 22, 25	3bitrrd 280	. . . . 5
27		vex 3112	. . . . . 6
28	27	brrpss 6583	. . . . 5
29		fvex 5881	. . . . . 6
30	29	brrpss 6583	. . . . 5
31	26, 28, 30	3bitr4g 288	. . . 4
32		relrpss 6581	. . . . 5
33	32	relbrcnv 5382	. . . 4
34	31, 33	syl6bbr 263	. . 3
35	34	ralrimivva 2878	. 2
36		df-isom 5602	. 2
37	10, 35, 36	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  crpss 6579

This theorem is referenced by:  isf34lem3  8776  isf34lem5  8779  isfin1-4  8788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-rpss 6580