Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  compssiso Unicode version

Theorem compssiso 8775
 Description: Complementation is an antiautomorphism on power set lattices. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a
Assertion
Ref Expression
compssiso
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem compssiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4600 . . . . 5
21ralrimivw 2872 . . . 4
3 compss.a . . . . 5
43fnmpt 5712 . . . 4
52, 4syl 16 . . 3
63compsscnv 8772 . . . . 5
76fneq1i 5680 . . . 4
85, 7sylibr 212 . . 3
9 dff1o4 5829 . . 3
105, 8, 9sylanbrc 664 . 2
11 elpwi 4021 . . . . . . . . 9
1211ad2antll 728 . . . . . . . 8
133isf34lem1 8773 . . . . . . . 8
1412, 13syldan 470 . . . . . . 7
15 elpwi 4021 . . . . . . . . 9
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8
173isf34lem1 8773 . . . . . . . 8
1816, 17syldan 470 . . . . . . 7
1914, 18psseq12d 3597 . . . . . 6
20 difss 3630 . . . . . . 7
21 pssdifcom1 3913 . . . . . . 7
2212, 20, 21sylancl 662 . . . . . 6
23 dfss4 3731 . . . . . . . 8
2416, 23sylib 196 . . . . . . 7
2524psseq1d 3595 . . . . . 6
2619, 22, 253bitrrd 280 . . . . 5
27 vex 3112 . . . . . 6
2827brrpss 6583 . . . . 5
29 fvex 5881 . . . . . 6
3029brrpss 6583 . . . . 5
3126, 28, 303bitr4g 288 . . . 4
32 relrpss 6581 . . . . 5
3332relbrcnv 5382 . . . 4
3431, 33syl6bbr 263 . . 3
3534ralrimivva 2878 . 2
36 df-isom 5602 . 2
3710, 35, 36sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isomwiso 5594   crpss 6579 This theorem is referenced by:  isf34lem3  8776  isf34lem5  8779  isfin1-4  8788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-rpss 6580
 Copyright terms: Public domain W3C validator