MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjmul Unicode version

Theorem conjmul 9723
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
conjmul

Proof of Theorem conjmul
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . 7
2 simprl 733 . . . . . . 7
3 reccl 9677 . . . . . . . 8
43adantr 452 . . . . . . 7
51, 2, 4mul32d 9268 . . . . . 6
6 recid 9684 . . . . . . . 8
76oveq1d 6088 . . . . . . 7
87adantr 452 . . . . . 6
9 mulid2 9081 . . . . . . 7
109ad2antrl 709 . . . . . 6
115, 8, 103eqtrd 2471 . . . . 5
12 reccl 9677 . . . . . . . 8
1312adantl 453 . . . . . . 7
141, 2, 13mulassd 9103 . . . . . 6
15 recid 9684 . . . . . . . 8
1615oveq2d 6089 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6
18 mulid1 9080 . . . . . . 7
1918ad2antrr 707 . . . . . 6
2014, 17, 193eqtrd 2471 . . . . 5
2111, 20oveq12d 6091 . . . 4
22 mulcl 9066 . . . . . 6
2322ad2ant2r 728 . . . . 5
2423, 4, 13adddid 9104 . . . 4
25 addcom 9244 . . . . 5
2625ad2ant2r 728 . . . 4
2721, 24, 263eqtr4d 2477 . . 3
2822mulid1d 9097 . . . 4
2928ad2ant2r 728 . . 3
3027, 29eqeq12d 2449 . 2
31 addcl 9064 . . . 4
323, 12, 31syl2an 464 . . 3
33 mulne0 9656 . . 3
34 ax-1cn 9040 . . . 4
35 mulcan 9651 . . . 4
3634, 35mp3an2 1267 . . 3
3732, 23, 33, 36syl12anc 1182 . 2
38 eqcom 2437 . . . 4
39 muleqadd 9658 . . . 4
4038, 39syl5bb 249 . . 3
4140ad2ant2r 728 . 2
4230, 37, 413bitr3d 275 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 177  /\wa 359  =wceq 1652  e.wcel 1725  =/=wne 2598  (class class class)co 6073   cc 8980  0cc0 8982  1c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283   cdiv 9669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670
  Copyright terms: Public domain W3C validator