MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjmul Unicode version

Theorem conjmul 9782
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
conjmul

Proof of Theorem conjmul
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . . . . . 7
2 simprl 734 . . . . . . 7
3 reccl 9736 . . . . . . . 8
43adantr 453 . . . . . . 7
51, 2, 4mul32d 9327 . . . . . 6
6 recid 9743 . . . . . . . 8
76oveq1d 6144 . . . . . . 7
87adantr 453 . . . . . 6
9 mulid2 9140 . . . . . . 7
109ad2antrl 710 . . . . . 6
115, 8, 103eqtrd 2479 . . . . 5
12 reccl 9736 . . . . . . . 8
1312adantl 454 . . . . . . 7
141, 2, 13mulassd 9162 . . . . . 6
15 recid 9743 . . . . . . . 8
1615oveq2d 6145 . . . . . . 7
1716adantl 454 . . . . . 6
18 mulid1 9139 . . . . . . 7
1918ad2antrr 708 . . . . . 6
2014, 17, 193eqtrd 2479 . . . . 5
2111, 20oveq12d 6147 . . . 4
22 mulcl 9125 . . . . . 6
2322ad2ant2r 729 . . . . 5
2423, 4, 13adddid 9163 . . . 4
25 addcom 9303 . . . . 5
2625ad2ant2r 729 . . . 4
2721, 24, 263eqtr4d 2485 . . 3
2822mulid1d 9156 . . . 4
2928ad2ant2r 729 . . 3
3027, 29eqeq12d 2457 . 2
31 addcl 9123 . . . 4
323, 12, 31syl2an 465 . . 3
33 mulne0 9715 . . 3
34 ax-1cn 9099 . . . 4
35 mulcan 9710 . . . 4
3634, 35mp3an2 1268 . . 3
3732, 23, 33, 36syl12anc 1183 . 2
38 eqcom 2445 . . . 4
39 muleqadd 9717 . . . 4
4038, 39syl5bb 250 . . 3
4140ad2ant2r 729 . 2
4230, 37, 413bitr3d 276 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606  (class class class)co 6129   cc 9039  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   cmul 9046   cmin 9342   cdiv 9728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729
  Copyright terms: Public domain W3C validator