Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprimeprodsq Unicode version

Theorem coprimeprodsq 14333
 Description: If three numbers are coprime, and the square of one is the product of the other two, then there is a formula for the other two in terms of and square. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
coprimeprodsq

Proof of Theorem coprimeprodsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 10912 . . . . . . . 8
2 nn0z 10912 . . . . . . . 8
3 gcdcl 14155 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . . 7
543adant2 1015 . . . . . 6
653ad2ant1 1017 . . . . 5
76nn0cnd 10879 . . . 4
87sqvald 12307 . . 3
9 simp13 1028 . . . . . . . . 9
109nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
11 nn0cn 10830 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
13123ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
1410, 13mulcomd 9638 . . . . . . 7
15 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11
1615nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
1716sqvald 12307 . . . . . . . . 9
1817eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1918biimp3a 1328 . . . . . . 7
2014, 19oveq12d 6314 . . . . . 6
21 simp11 1026 . . . . . . . 8
2221nn0zd 10992 . . . . . . 7
239nn0zd 10992 . . . . . . 7
24 mulgcd 14184 . . . . . . 7
259, 22, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . 6
26 simp12 1027 . . . . . . 7
27 mulgcd 14184 . . . . . . 7
2821, 23, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . 6
2920, 25, 283eqtr3d 2506 . . . . 5
3029oveq2d 6312 . . . 4
31 mulgcdr 14186 . . . . 5
3222, 23, 6, 31syl3anc 1228 . . . 4
336nn0zd 10992 . . . . 5
34 gcdcl 14155 . . . . . . . . . 10
352, 34sylan 471 . . . . . . . . 9
3635ancoms 453 . . . . . . . 8
37363adant1 1014 . . . . . . 7
38373ad2ant1 1017 . . . . . 6
3938nn0zd 10992 . . . . 5
40 mulgcd 14184 . . . . 5
4121, 33, 39, 40syl3anc 1228 . . . 4
4230, 32, 413eqtr3d 2506 . . 3
4323ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14
44 gcdid 14169 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4645oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
47 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13
48 gcdabs1 14172 . . . . . . . . . . . . 13
4943, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
5046, 49eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
51 gcdass 14183 . . . . . . . . . . . 12
5243, 43, 47, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
53 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . 12
5443, 47, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5550, 52, 543eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10
5655oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
5713ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
5837nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
59 gcdass 14183 . . . . . . . . . 10
6057, 43, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
61 gcdass 14183 . . . . . . . . . 10
6257, 47, 43, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
6356, 60, 623eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
6463eqeq1d 2459 . . . . . . 7
6564biimpar 485 . . . . . 6
6665oveq2d 6312 . . . . 5
67663adant3 1016 . . . 4
6813mulid1d 9634 . . . 4
6967, 68eqtrd 2498 . . 3
708, 42, 693eqtrrd 2503 . 2
71703expia 1198 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   cmul 9518  2`c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   cabs 13067   cgcd 14144 This theorem is referenced by:  coprimeprodsq2  14334  pythagtriplem6  14345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
 Copyright terms: Public domain W3C validator