Theorem coprimeprodsq 14333

Description: If three numbers are coprime, and the square of one is the product of the other two, then there is a formula for the other two in terms of and square. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coprimeprodsq

Proof of Theorem coprimeprodsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 10912	. . . . . . . 8
2		nn0z 10912	. . . . . . . 8
3		gcdcl 14155	. . . . . . . 8
4	1, 2, 3	syl2an 477	. . . . . . 7
5	4	3adant2 1015	. . . . . 6
6	5	3ad2ant1 1017	. . . . 5
7	6	nn0cnd 10879	. . . 4
8	7	sqvald 12307	. . 3
9		simp13 1028	. . . . . . . . 9
10	9	nn0cnd 10879	. . . . . . . 8
11		nn0cn 10830	. . . . . . . . . 10
12	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
13	12	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
14	10, 13	mulcomd 9638	. . . . . . 7
15		simpl3 1001	. . . . . . . . . . 11
16	15	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
17	16	sqvald 12307	. . . . . . . . 9
18	17	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8
19	18	biimp3a 1328	. . . . . . 7
20	14, 19	oveq12d 6314	. . . . . 6
21		simp11 1026	. . . . . . . 8
22	21	nn0zd 10992	. . . . . . 7
23	9	nn0zd 10992	. . . . . . 7
24		mulgcd 14184	. . . . . . 7
25	9, 22, 23, 24	syl3anc 1228	. . . . . 6
26		simp12 1027	. . . . . . 7
27		mulgcd 14184	. . . . . . 7
28	21, 23, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . . 6
29	20, 25, 28	3eqtr3d 2506	. . . . 5
30	29	oveq2d 6312	. . . 4
31		mulgcdr 14186	. . . . 5
32	22, 23, 6, 31	syl3anc 1228	. . . 4
33	6	nn0zd 10992	. . . . 5
34		gcdcl 14155	. . . . . . . . . 10
35	2, 34	sylan 471	. . . . . . . . 9
36	35	ancoms 453	. . . . . . . 8
37	36	3adant1 1014	. . . . . . 7
38	37	3ad2ant1 1017	. . . . . 6
39	38	nn0zd 10992	. . . . 5
40		mulgcd 14184	. . . . 5
41	21, 33, 39, 40	syl3anc 1228	. . . 4
42	30, 32, 41	3eqtr3d 2506	. . 3
43	2	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . 14
44		gcdid 14169	. . . . . . . . . . . . . 14
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12
47		simp2 997	. . . . . . . . . . . . 13
48		gcdabs1 14172	. . . . . . . . . . . . 13
49	43, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
50	46, 49	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11
51		gcdass 14183	. . . . . . . . . . . 12
52	43, 43, 47, 51	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
53		gcdcom 14158	. . . . . . . . . . . 12
54	43, 47, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . 10
56	55	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
57	1	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
58	37	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
59		gcdass 14183	. . . . . . . . . 10
60	57, 43, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
61		gcdass 14183	. . . . . . . . . 10
62	57, 47, 43, 61	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
63	56, 60, 62	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8
64	63	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
65	64	biimpar 485	. . . . . 6
66	65	oveq2d 6312	. . . . 5
67	66	3adant3 1016	. . . 4
68	13	mulid1d 9634	. . . 4
69	67, 68	eqtrd 2498	. . 3
70	8, 42, 69	3eqtrrd 2503	. 2
71	70	3expia 1198	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  cmul 9518  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166  cabs 13067  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  coprimeprodsq2  14334  pythagtriplem6  14345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145