MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Unicode version

Theorem coprm 14241
Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm

Proof of Theorem coprm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 14221 . . . . . . 7
2 gcddvds 14153 . . . . . . 7
31, 2sylan 471 . . . . . 6
43simprd 463 . . . . 5
5 breq1 4455 . . . . 5
64, 5syl5ibcom 220 . . . 4
76con3d 133 . . 3
8 0nnn 10592 . . . . . . . . 9
9 prmnn 14220 . . . . . . . . . 10
10 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
119, 10syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9
128, 11mtoi 178 . . . . . . . 8
1312intnanrd 917 . . . . . . 7
1413adantr 465 . . . . . 6
15 gcdn0cl 14152 . . . . . . . 8
1615ex 434 . . . . . . 7
171, 16sylan 471 . . . . . 6
1814, 17mpd 15 . . . . 5
193simpld 459 . . . . 5
20 isprm2 14225 . . . . . . . 8
2120simprbi 464 . . . . . . 7
22 breq1 4455 . . . . . . . . 9
23 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
24 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
2523, 24orbi12d 709 . . . . . . . . 9
2622, 25imbi12d 320 . . . . . . . 8
2726rspcv 3206 . . . . . . 7
2821, 27syl5com 30 . . . . . 6
2928adantr 465 . . . . 5
3018, 19, 29mp2d 45 . . . 4
31 biorf 405 . . . . 5
32 orcom 387 . . . . 5
3331, 32syl6bb 261 . . . 4
3430, 33syl5ibrcom 222 . . 3
357, 34syld 44 . 2
36 iddvds 13997 . . . . . . 7
371, 36syl 16 . . . . . 6
3837adantr 465 . . . . 5
39 dvdslegcd 14154 . . . . . . . . 9
4039ex 434 . . . . . . . 8
41403anidm12 1285 . . . . . . 7
421, 41sylan 471 . . . . . 6
4314, 42mpd 15 . . . . 5
4438, 43mpand 675 . . . 4
45 prmgt1 14236 . . . . . 6
4645adantr 465 . . . . 5
471zred 10994 . . . . . . 7
4847adantr 465 . . . . . 6
4918nnred 10576 . . . . . 6
50 1re 9616 . . . . . . 7
51 ltletr 9697 . . . . . . 7
5250, 51mp3an1 1311 . . . . . 6
5348, 49, 52syl2anc 661 . . . . 5
5446, 53mpand 675 . . . 4
55 ltneOLD 9703 . . . . . 6
56553expia 1198 . . . . 5
5750, 49, 56sylancr 663 . . . 4
5844, 54, 573syld 55 . . 3
5958necon2bd 2672 . 2
6035, 59impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217
This theorem is referenced by:  prmrp  14242  euclemma  14249  phiprmpw  14306  fermltl  14314  prmdiv  14315  prmdiveq  14316  prmpwdvds  14422  1259lem5  14617  2503lem3  14621  4001lem4  14626  gexexlem  16858  ablfac1lem  17119  ablfac1eu  17124  pgpfac1lem3  17128  perfect1  23503  perfectlem1  23504  perfectlem2  23505  lgslem1  23571  lgsqrlem2  23617  lgsqr  23621  lgsquad2lem2  23634  2sqblem  23652  rpvmasumlem  23672  dchrisum0flblem2  23694  nn0prpwlem  30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
  Copyright terms: Public domain W3C validator