MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds Unicode version

Theorem coprmdvds 14243
Description: If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds

Proof of Theorem coprmdvds
StepHypRef Expression
1 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
2 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
3 mulcom 9599 . . . . . . . . . 10
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . . . . 9
543adant1 1014 . . . . . . . 8
65breq2d 4464 . . . . . . 7
7 dvdsmul2 14006 . . . . . . . . . 10
87ancoms 453 . . . . . . . . 9
983adant2 1015 . . . . . . . 8
10 simp1 996 . . . . . . . . 9
11 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . 11
1211ancoms 453 . . . . . . . . . 10
13123adant2 1015 . . . . . . . . 9
14 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . 11
1514ancoms 453 . . . . . . . . . 10
16153adant1 1014 . . . . . . . . 9
17 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . 9
1810, 13, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . 8
199, 18mpand 675 . . . . . . 7
206, 19sylbid 215 . . . . . 6
2120adantr 465 . . . . 5
22 absmulgcd 14185 . . . . . . . . . 10
23223coml 1203 . . . . . . . . 9
2423adantr 465 . . . . . . . 8
25 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
262mulid1d 9634 . . . . . . . . . . 11
2725, 26sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . 10
2827fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
29283ad2antl3 1160 . . . . . . . 8
3024, 29eqtrd 2498 . . . . . . 7
3130breq2d 4464 . . . . . 6
32 dvdsabsb 14003 . . . . . . . 8
33323adant2 1015 . . . . . . 7
3433adantr 465 . . . . . 6
3531, 34bitr4d 256 . . . . 5
3621, 35sylibd 214 . . . 4
3736ex 434 . . 3
3837com23 78 . 2
3938impd 431 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   cmul 9518   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  coprmdvds2  14244  qredeq  14247  euclemma  14249  eulerthlem2  14312  prmdiveq  14316  prmpwdvds  14422  ablfacrp2  17118  dvdsmulf1o  23470  perfectlem1  23504  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  2sqlem8  23647  2sqmod  27636  nn0prpwlem  30140  coprmdvdsb  30925  jm2.20nn  30939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator